2020 Fiscal Year Annual Research Report
Birational geometry of higher dimensional algebraic varieties
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16H02141
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非可換変形 / 代数多様体 / 連接層 / 導来圏 / フロップ / 重みつき射影空間 / 双有理幾何学 / 有理曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非可換変形の一般理論と３次元代数多様体の双有理幾何学への応用についての研究を継続した。まず、部分的単純組というものを定義し、ひねくれ連接層の圏が部分的単純組を持つ場合の半普遍変形とそのパラメーター環を求めた。そしてそれを３次元代数多様体のフロップ収縮の場合に応用した。フロップ収縮には例外ファイバーのスキーム構造によって定まる長さという不変量があり、１から６までの値をとる。長さ１の場合には可換変形しかなく、２以上のときに非可換変形が起こる。具体的にはパラメーター環の２個の生成元が反可換性を持つ。この研究では、この反可換性が例外曲線の無限小近傍の構造から従っていることを証明した。さらに、長さ２のフロップであるLauferのフロップを一般化した族を定義し、この場合に非可換な変形環の同型からフロップ収縮の解析的同型が従うというDonovan-Wemyss予想が正しいことを証明した。非可換環が同型ではないことの証明は複雑で、一見すると同型に見えたりするところが興味深い。
また、長さが一般の普遍フロップ収縮族を構成し、変形環を計算した。
一方、特異点を持つ代数多様体の導来圏の研究も行った。射影空間の導来圏はBeilinsonの例外対象列によって生成されるが、重みつき射影空間の場合には特異点があるので例外対象列では生成されない。そこで少し一般化して、pretilting列というものを定義し、具体的な重みつき射影空間に対してこれで生成されることを証明した。Pretilting対象の自己準同型環として得られる非可換環は表現論の観点からも興味深いようで、Kalck氏との共同研究に発展した。
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| Research Progress Status |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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