2017 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on the qualitative theory and singularities of nonlinear partial differential equations
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16H02151
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
俣野 博 明治大学, 研究・知財戦略機構, 特任教授 (40126165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 解析学 / 関数方程式論 / 非線形拡散方程式 / 解の特異性 / 進行波 / 定性的理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 超臨界ベキ型の非線形熱方程式の初期値問題について考察し，特異性をもつ初期値に対する解の非一様性を示した．具体的には，まず，特異性を有するある種の初期値に対する自己相似解が複数存在することを示し，その結果と極限論法を用いて，その初期値に対して解が無数に存在することを示した（M.Fila氏および柳田英二氏との共同研究，文献リスト１）．
2. 非等方的な非線形拡散項をもつAllen-Cahn型方程式に対する初期値問題を考察し，コンパクトな台をもつ初期値から出発した解の広がり波面の性質を調べた．具体的には，広がり波面の形状がWulff図形に近づくこと，および波面の付近での解のプロファイルが平面進行波のプロファイルに近づくことを示した（森洋一朗氏と奈良光紀氏との共同研究，論文投稿済み）．
3. 多重安定型非線形項をもつ半線形拡散方程式に対する初期値問題を考察し，球対称テラス解の概念を導入して，コンパクトな台をもつ任意の初期値から出発した解が，もし正の定常解に収束する場合は，広がり波面の形状が球対称テラス解に近づくことを示した（Y.Du氏との共同研究，論文投稿済み）．
4. 宮本は，藤嶋陽平氏（静岡大学）によって定義された一般化相似変換による楕円型方程式の極限方程式を導出した．ある変数変換によって極限方程式の非線形項が純粋冪か指数関数に変換されることを発見した．この結果は，対応する放物型方程式の爆発問題への応用が見込まれる（文献リスト３）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の代表者の研究については，発表論文２篇に加えて，上で述べたように投稿済みの論文が2篇ある．さらに，投稿準備中の論文が３篇ある．具体的には，（１）ランダムなノイズ項のあるAllen-Cahn方程式の特異極限問題，（２）質量保存則をみたす強順序保存系の解の収束や解集合の構造に関する定性的理論，（３）体積保存型のAllen-Cahn方程式に対する特異極限問題の研究である．これ以外に，以前から進めてきた研究で，ほぼ完成に近づいているものが２件ある．具体的には，臨界型非線形熱方程式のソリトン分解に関する研究（F.Merle氏との共同研究）と，無数の穴の空いた壁を通過する双安定型進行波面に関する研究（H.Berestycki氏らとの共同研究）である．理論の概要は完成しており，早い時期に論文を完成させたい．
これらの研究の中には，当初の計画と順序が入れ替わっていたりするものもあるが，全体的に見ると，当初予定していた方向の研究は順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
上で述べた投稿準備中の論文3篇（ランダムなノイズ項のあるAllen-Cahn方程式の特異極限問題，質量保存則をみたす強順序保存系の解の定性的理論，体積保存型のAllen-Cahn方程式に対する特異極限問題）については，できるだけ早い時期に投稿する．また，理論の概要がほぼ完成している２件の研究（臨界型非線形熱方程式のソリトン分解に関する研究，および無数の穴の空いた壁を通過する進行波面の研究）についても，早期の論文完成をめざす．
これらの作業がある程度進んだ段階で，交付申請書でも述べたように，次の２つのテーマを中心に研究を進める．
・無数の穴の空いた壁を通過する双安定型進行波面の問題において，穴の大きさや穴と穴の間隔を限りなく小さくした均質化極限問題
・障害物が波面の進行を促進するという，一見逆説的な予想が成り立つことを確かめる．具体的には，Allen-Cahn型の拡散方程式および駆動項をもつ平均曲率流の二つの方程式に対して上の予想が成り立つことを示す．
これ以外に，交付申請書には書いていないが，連立の反応拡散系（捕食者被食者系，および伝染病モデル）における広がり波面の問題は，世界的にもあまり研究がなされていないので，連立系の問題に次第に重点を移す予定である．
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