2016 Fiscal Year Annual Research Report
保型形式の周期，合同およびＬ関数の特殊値に関する総合的研究
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16H03919
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
桂田 英典 室蘭工業大学, 工学研究科, 教授 (80133792)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 周期 / Ｌ関数の特殊値 / リフト / Siegel級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Hermitian Ikeda liftに関する池田の予想を解決した論文を発刊した．また，そのadelic versionも発刊予定である．これらの結果はKim-Yamauchi liftの周期関係を考える上で重要なヒントになると思われる．局所体F上の２次形式のGross-Keating invariantの基礎理論を構築し，これを利用して２次形式のSiegel級数の明示的公式を求めることに成功した．（池田保との共同研究）これらは，２つの論文にまとめられ，そのうちの前者はAmerican Journal of Mathematicsに掲載予定である．後者の要約は数理科学研究所講究録に掲載される予定である．又，これらの結果を東北大学代数セミナーで講演した．FがQp 上不分岐のときGross-Keating invariantを求めるアルゴリズムを求めた（S. Cho, 池田保，山内卓也との共同研究)．これらの結果は，Hilbert保型形式のHilbert Siegel保型形式へのlift(Ikeda-Yamana lif)の周期関係を得る上で有効のみならず，ある種の数論的多様体のサイクルの交点数に関する研究に(Kudla program)も応用されると期待される．実際，我々の結果を応用して，山内卓也，S. Choはある場合にKudla programを実行した．また，局所体上のエルミート形式のGross-Keating invariantの基礎理論を構築し，これを利用して２次形式のSiegel級数の明示的公式を求めることを試みた．（池田保との共同研究）これは，ほぼ完成しつつある． Modular形式のliftの周期と合同に関する本研究代表者の従来の結果を２０１６年９月にオーストラリアで開催された研究集会で講演した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２次形式の局所理論については上に述べたようにかなり整備された．
これにより，Ikeda-Yamana liftの周期関係を得るための局所理論の準備は整ったように思う．また，エルミート形式の局所理論にもかなりの進展がありこれは予想以上の結果である．これらは連携研究者である池田保との共同研究であり，この意味で研究は順調に進展していると思われる．Quaternionic unitary群上保型形式へのリフト(Yamana lift)の周期関係については，上に述べたHermitian
Ikeda liftの場合を参考にして研究を始めているが，必要な局所理論を整備するための時間がなく未完成である． 一方，
Kim-Yamauchi liftに関する周期関係については連携研究者である山内卓也と議論を行い今後の計画について話し合ったがまだ具体的な進展はない.ただ，局所理論についてはかなり理解が深まっており，Siegel級数の計算なども可能と思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
池田保との共同研究によって得られた２次形式のSiegel級数の明示公式の論文を投稿する．さらに，その続編（池田，山内，Choとの共著）も投稿を考えている．また，エルミート形式のGross-Keating invariantの基礎理論，およびSiegel級数の明示公式を完成させる．このために，池田を室蘭に招聘する．また，数理解析研究所での研究集会の際にも研究打ち合わせを行う．
Kim-Yamauchi liftの周期関係について山内卓也と室蘭または仙台で２～３回議論する．
このため，山内を室蘭に招聘する．また，数理解析研究所での研究集会の際にも研究打ち合わせを行う．また，連携研究者である千田雅隆と議論し，数論幾何学的知見を得る．
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