2017 Fiscal Year Annual Research Report
Relation between representations at the critical level and those of level zero for affine Lie algebras and semi-infinite flag manifolds
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16H03920
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内藤 聡 東京工業大学, 理学院, 教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 岳 岡山理科大学, 理学部, 教授 (40309539)
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数学 / アフィン量子群のレベル・ゼロ表現 / アフィン・リー環の臨界レベル表現 / 非対称Macdonald 多項式 / Lakshmibai-Seshadri パス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究成果としては先ず、アフィン量子群上のレベル・ゼロ extremal ウエイト加群の Demazure 部分加群 (レベル・ゼロ Demazure 加群) の、それに含まれるある特定の Demazure 部分加群達の和による商加群として、有限次元複素半単純代数群上の van der Kallen 加群のレベル・ゼロにおける対応物 (レベル・ゼロ van der Kallen 加群) を定義し、その次数付き指標が (加群の次数付けに対応する変数 q の具体的な有限積の形をした有理関数倍を除いて) 非対称 Macdonald 多項式の t = ∞ での特殊化に他ならない事を証明した事が挙げられる。これは、非対称 Macdonald 多項式の t = ∞ での特殊化の、アフィン量子群のレベル・ゼロ表現の言葉による解釈を与えるものである。
また、前年度に得られた結果である semi-infinite Lakshmibai-Seshadri パスに関する standard monomial theory を用いて、その量子 Lakshmibai-Seshadri (QLS) パスに関する対応物を得た。より正確には、λ と μ をレベル・ゼロ優整形式とするとき、型が λ + μ の QLS パスを型が λ の QLS パスと型が μ の QLS パスのテンソル積として表したときの、最初の (型が λ + μ の) QLS パスの "degree" と他の 2 個の (型がそれぞれ λ と μ の) QLS パスの "degree" の間の関係式を、量子 Bruhat グラフの言葉で明示的に記述する事ができた。この結果から、非対称 Macdonald 多項式の t = ∞ での特殊化に関する新たな関係式を導く事が出来るのものと期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度の研究成果によって、半無限旗多様体の (岩堀部分群に関する) 同変 K-群の積構造に関する理解が大きく進んだ。そして、半無限旗多様体の (極大トーラスに関する) 同変 K-群とアフィン・グラスマン多様体のトーラス同変 K-群の間に密接な関係がある事が分かって来た。
一方で、アフィン・グラスマン多様体のトーラス同変 K-群の局所化は (非常に重要な研究対象として注目されている) 通常の有限次元旗多様体の量子 K-群の局所化と同型である事 (Peterson 同型) が予想されている。この Peterson 同型を半無限旗多様体の同変 K-群の視点から研究する事は非常に興味深くしかも有望であると思われるため、現在は力点をこちらに置いた研究を行っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、半無限旗多様体の (極大トーラスに関する) 同変 K-群への、通常の有限次元旗多様体の量子 K-群の特殊化の明示的な埋め込みの研究に進みたいと考えている。これは、アフィン・グラスマン多様体のトーラス同変 K-群の局所化と通常の有限次元旗多様体の量子 K-群の局所化の間に期待されている同型 (Peterson 同型) の拡張とみなせるものになると期待される。そしてこの目的のためには、アフィン・グラスマン多様体のトーラス同変 K-群の局所化の半無限旗多様体の (極大トーラスに関する) 同変 K-群への埋め込みを明示的に構成する必要があるものと思われる。そのために、研究代表者の内藤聡が、研究分担者の荒川智幸教授 (京都大学数理解析研究所) 及び研究協力者の加藤周准教授 (京都大学) と協力して研究を進める予定である。
またその一方で、半無限旗多様体の (極大トーラスに関する) 同変 K-群において半無限 Schubert 部分多様体の構造層のクラス達が満たす差分方程式系の決定を行いたいと思っている。この研究計画には、上述の Peterson 同型に関する知識が重要な役割を果たすと考えられるため、研究代表者の内藤聡が研究分担者の池田岳教授 (岡山理科大学) と協力して研究を行う予定である。
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