2018 Fiscal Year Annual Research Report
Relation between representations at the critical level and those of level zero for affine Lie algebras and semi-infinite flag manifolds
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16H03920
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内藤 聡 東京工業大学, 理学院, 教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 岳 岡山理科大学, 理学部, 教授 (40309539)
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数学 / アフィン量子群のレベル・ゼロ表現 / アフィン・リー環の臨界レベル表現 / 半無限旗多様体 / 量子 K-群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究成果としては、半無限旗多様体の (岩堀部分群に関する) 同変 K-群において、anti-dominant ウエイトに付随する (半無限多様体上の) 直線束と半無限 Schubert 部分多様体の構造層のテンソル積を半無限 Schubert 部分多様体の構造層で展開した時の係数 (つまり、積構造に関する構造定数) を semi-infinite Lakshmibai-Seshadri パスの言葉で明示的に記述する公式 (Chevalley 公式) を証明した事が挙げられる。特に、半無限旗多様体の岩堀部分群に関する Chevalley 公式において q = 1 と特殊化する事により、半無限旗多様体の極大トーラスに関する同変 K-群における Chevalley 公式を得る事が出来る。
半無限旗多様体のトーラス同変 K-群と (通常の) 有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群の間には、通常の Schubert 部分多様体の構造層を半無限 Schubert 部分多様体の構造層に移す標準的な同型写像が存在する事が知られているので、上で述べた anti-dominant ウエイトに関する Chevalley 公式は、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群における積構造の記述を与える事が分かる (このトーラス同変量子 K-群の積構造は、原理的にはこの anti-dominant ウエイトに関する Chevalley 公式により決定される)。特に、この結果から、余次元 1 の半無限 Schubert 部分多様体の構造層と一般の半無限 Schubert 部分多様体の構造層の積の明示的な記述に関する Lenart-Postnikov 予想の証明が得られる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
半無限旗多様体のトーラス同変 K-群は (通常の) 有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群と同型である事から、半無限旗多様体のトーラス同変 K-群、そしてその精密化としての岩堀部分群に関する同変 K-群の研究の重要性が非常に高い事が判明した。そして、半無限旗多様体の岩堀部分群に関する同変 K-群の研究は、アフィン量子群のレベル・ゼロ表現の研究と深く密接に関連している事が分かっている。そこで、現在は、これらの間の関係の追及と、その応用としての有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群の構造 (積構造と、トーラスの表現環の上の加群としての構造の両者) の解析に力点をおいて研究を進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、半無限旗多様体の岩堀部分群に関する同変 K-群の構造 (積構造と、トーラスの表現環の上の加群としての構造の両者) の研究をさらに進めたいと考えている。
より具体的には、積構造の研究に関しては、一般の (dominant でも anti-dominant でもない) ウエイトに付随する直線束と半無限 Schubert 多様体の構造層のテンソル積に関する Chevalley 公式を定式化し、証明したいと考えている。そしてこの定式化には、量子 Lakshmibai-Seshadri パスを拡張した概念が必要となるものと予想されている。この部分の研究は、研究代表者の内藤聡が研究協力者の佐垣大輔准教授 (筑波大学) 及び研究協力者の Cristian Lenart 教授 (New York 州立大学 Albany 校) と協力して行う予定である。
また、トーラスの表現環上の加群としての構造の研究に関しては、一般のウエイトに対応するトーラスの 1 次元表現によって半無限 Schubert 部分多様体の構造層を twist したもの半無限 Schubert 多様体上の直線束の整数係数 1 次結合として表した時の係数の記述に関する Monk 公式を定式化し、証明したいと考えている。但し、全く一般のウエイトの場合の記述は困難であるため、(レベル・ゼロ) 基本ウエイトのワイル群軌道に属するウエイトの場合を主として考察する。この部分の研究は、研究代表者の内藤聡が研究協力者の Daniel Orr 助教授 (Virginia 工科大学) と協力して行う予定である。
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