2020 Fiscal Year Annual Research Report
Relation between representations at the critical level and those of level zero for affine Lie algebras and semi-infinite flag manifolds
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16H03920
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内藤 聡 東京工業大学, 理学院, 教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数学 / アフィン量子群の表現論 / レベル・ゼロ表現 / 半無限旗多様体 / 旗多様体の量子 K-群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素単純代数群に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の(極大)トーラス同変 K-群は、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群と同型である事が知られている。従って、半無限旗多様体のトーラス同変 K-群の (テンソル) 積構造を記述する事によって、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群の (量子) 積構造を記述する事が出来る。そして、これらのトーラス同変 K-群の積構造は、反優整基本ウエイトに付随する直線束との積に関する構造定数と、(極大)トーラスの表現環上のこれらの K-群の加群構造によって一意的に決定される事が分かっている。
本年度の研究で我々は、半無限旗多様体のトーラス同変 K-群において任意の整ウエイトに付随する直線束との (テンソル) 積に関する構造定数を与える Chevalley 公式を証明した。より正確には、この Chevalley 公式と、アフィン量子群上のレベル・ゼロ Demazure 加群の次数付き指標に関するある種の指標等式の関係を明らかにし、さらにこの指標等式を証明する事によって、半無限旗多様体のトーラス同変 K-群に関する Chevalley 公式を証明した。
上で述べた Chevalley 公式は、与えられた任意の整ウエイトに付随する量子 alcove model と呼ばれる組合せ論的対象物によって記述される。今年度の研究成果において特に重要な点は、この量子 alcove model の理論において重要な役割を果たす、量子 Yang-Baxter moves と呼ばれる良い振る舞いをする写像 (与えられた整ウエイトが優整ウエイトの時は全単射になる) の存在を一般的に証明し、その応用としてレベル・ゼロ Demazure 加群の次数付き指標に関する指標等式を証明した事である。
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| Research Progress Status |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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