2016 Fiscal Year Annual Research Report
Deepening of Schubert Calculus
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16H03921
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
成瀬 弘 山梨大学, 総合研究部, 教授 (20172596)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | シューベルト・カルキュラス / 一般コホモロジー / Hall-Littlewood関数 / 退化跡 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、シューベルト・カルキュラスに登場する様々な多項式や代数系及び組合せ論的対象について、相互関係を重視してより深い理解と理論の発展を目指している。
本年度の実績の１つは、p-進代数群の表現に関するCasselman問題についての一つの解答が得られたことである。この結果を組合せ論の世界的な研究集会であるFPSAC2016において報告した。ただし、これに関してはより良い形での予想が別にあり、それについては今後の課題として引き続き解明を進めたい。
もう一つは、Hall-Littlewood関数の一般コホモロジーへの一般化を行ったことである。具体的には、その母関数を構成しそれを利用して種々の性質を導くことを検討した。通常コホモロジーやK理論の場合の結果を元にして、その母関数を一般化をすることができた。K理論の場合には既に知られている結果の別証明などを得ることができたが、Ellipticコホモロジーの場合に具体的な形を決定的することなどは今後の課題である。また、この母関数を使うことで、K-理論の場合にはt=-1のとき、２行の分割に対応する関数を１行の積の和で表示する式や１行の積を２行で展開する式などが、得られることもわかった。幾何学的な退化跡から得られる多項式が母関数の議論から純粋に代数的な処理により得られることになりこれを媒介するのがpush forward公式ということになる。行列式公式やパッフィアン公式も母関数からも自然に導かれることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の成果として、Casselman問題の１つの解答が得られたこと、及びHall-Littlewood関数の母関数について、一般コホモロジーの場合に一般化することができたこと、また、その証明方法として幾何学的なpush-forwardによる方法と純粋に代数的な方法の２通りの証明ができたことなどがあり,
おおむね順調に研究が進んでいるといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、得られた母関数を用いてellipticの場合のSchur関数の性質をより詳しく解明してゆくことを１つの目標としたい。また、Hall-Littlewood関数の一般化の方向では、p-compact群の等質空間のコホモロジーとの関係、特にシューベルト基底にあたるものを同変コホモロジーで決定してゆくことを考えたい。また、別の方向性としてFomin-Kirillov代数について考察し、それと複素鏡映群との関係からHaiil-Littlewood関数が捉えられないかについても考察を行いたい。
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