2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03922
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
国場 敦夫 東京大学, 大学院総合文化研究科, 教授 (70211886)
尾角 正人 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (70221843)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 団代数 / ダイログ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は引き続き団代数の基礎と応用の研究を行い、以下の成果を得た。
１。一般団代数の研究、特に高次ダイログ関数の関数等式の導出。これは、昨年度からの継続課題である。Chekhov-Shapiro (2014)は、団代数の変異に現れる１次の多項式を高次化することにより、団代数の基本性質であるLaurent性を保ったまま自然に拡張できることを示し、これを一般団代数と呼んだ。中西は、このことの重要性を一早く認識し、団代数における分離公式などの種々の基本性質やその量子化などが一般団代数に対しても自然に拡張されることを前年度までの研究で示した。本研究においては、団代数とダイログ関数の間の関係性を拡張するため、まず高次Eulerダイログ関数および高次Rogersダイログ関数という関数を導入した。そして、これらの関数と一般団代数の間の関係性を明らかにし、特に、一般団代数の周期に対して高次ダイログ関数恒等式が付随して成り立つことを示した。
２。団代数の変異のHamiltonian形式の定式化とダイログ恒等式。これは、ノートルダム大Michael Shapiro氏、Dylan Rupel氏との共同研究である。中西は、以前の研究成果において、団代数の周期に付随するダイログ関数恒等式の導出を行った。その導出法は純代数的なものである一方で、なぜそのような恒等式があるべきかという内在的な解答を与えるものではなかった。本研究は、Kashaev-中西(2012)の量子ダイログ恒等式の研究に示唆を受け、ダイログ関数恒等式をHamilton力学およびLagrangian力学の観点から定式化し、再導出を与えたものである。純代数的な観点と力学系の観点からの導出は互いに相補的であり、これによりダイログ関数恒等式の完全な理解が得られた。
また、国場と尾角は、完全非対称ゼロレンジ過程の種々の代数的拡張を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度の研究成果として、団代数の基礎であるダイログ関数と変異の関係を、正準変数を用いて定式化を与えたことは、今後の団代数の基礎理論の構築を進める上で、大変重要な成果である。また、２０１６年９月に名古屋大学で国際研究会 Infinite Analysis 16 Summer School を開催し、国内外の可積分研究者との間で充実した研究交流ができ、次年度以降の研究をする上で大きな足がかりを得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、団代数の基礎理論の中でも重要な問題、例えば、toric幾何を用いた正値性や符号同一性の、より団代数理論に立脚した再導出などを進めていく。そのためには、国内外の団代数研究者との研究交流は大変重要な意味を持つ。現在、これに向けて２０１９年に国内外の団代数の研究者１００名ほどを集めた大規模な研究集会を計画中である。この計画を実現させるため、今年度の国際研究集会の海外招聘講演者を少なくし、２０１９年度の研究集会に回すなど、支出を２０１９年により集中されることも視野に入れて計画を進めていく。
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