2016 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the coinvariant ring theory for hyperplane arrangements and the new developments of its representation and geometry
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16H03924
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
阿部 拓郎 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50435971)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
沼田 泰英 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00455685)
榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (90467647)
村井 聡 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (90570804)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / Solomon-寺尾代数 / コホモロジー環 / ヘッセンベルグ多様体 / 自由配置 / シューベルト多様体 / 完全交差環 / ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成28年度は、(1)Solomon-寺尾代数の基礎理論を構成すること、及び(2)その幾何学との具体的な関連を確立させることを目標としていた。以下、成果を詳述する。
まず(1)であるが、研究分担者の沼田氏、連携研究者の前野氏と実施していた研究に、研究分担者の村井聡氏を加えて、Solomon-寺尾代数の様々な性質を調べ上げていった。結果、その性質として完全交差性のみならず、ゴレンシュタイン性やレフシェッツ性など、可換環論と関連の深い性質を当てはめることが自然となり、同分野及び幾何学との関連がより鮮明に浮かび上がってきた。更にグラフ配置に集中することで、いくつもの性質が見えてきており、研究は順調に進展している。2017年度にはこれらをまとめて最初の論文を作成する予定である。
続いて(2)について述べる。この計画は、当初の予定をはるかに超える大きな進展があった。Solomon-寺尾代数との関連を最初に想定していたのはシューベルト多様体であったが、これは最初の定式化ではうまくゆかないことが例示計算より明らかになった。そこで次のターゲットであった正則冪零ヘッセンベルグ多様体に移ったところ、そのコホモロジー環がSolomon-寺尾代数と同型なことが、村井氏、及び大阪市立大の枡田幹也氏、堀口達也氏、京都大の佐藤敬志氏との共同研究により示された。これにより、Sommers-Tymoczko予想が解決され、更にPetersonにより提唱されていたヘッセンベルグ多様体の性質が、超平面配置の言葉を使うことで鮮やかに解決される、という大きな副産物を得ることもできた。本論文は専門誌に投稿中である。
このように、研究代表者の創始したSolomon-寺尾代数は、見事に幾何学と結び付き、一躍新たな研究対象として超平面配置及び幾何学の分野に躍り出ることとなった。これは想定を超える成果であるといえる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Solomon-寺尾代数の基礎固めは順調に進展しており、また研究分担者である榎本直也氏及び連携研究者の木村嘉之氏とともに進めている幾何学的表現論的なSolomon-寺尾代数と多項式の理解も基礎固めを終え、これから次の段階へ進もうとしており順調である。その中で研究進展を良好としたのは、何といってもヘッセンベルグ多様体のコホモロジー環と、Solomon-寺尾代数との同型を示すことができたという一点による。この証明はルート系の分類を用いない非常に美しいものであり、1953年にBorelにより示された、ワイル群作用による余不変式環と、対応する旗多様体のコホモロジー環との同型を一般化する結果となっており、そういった幅広い文脈からも極めて重要な結果である。無論我々の研究計画においても、様々な理論の成否を確かめるための重要な例を与えているが、それ以上の大きな意味を持つ理論を完成させられたことから、進捗状況を当初の計画以上に進展しているとした。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度であるが、まずはSolomon-寺尾代数の基礎理論を完成させ、論文として出版することから始めたい。これに関してはすでにめどは立っており、村井氏、沼田氏、前野氏らとともに進めてゆく。特に、自由性と完全交差性との関係について、グラフ配置の場合に絞って研究することで、確かな成果を得たいと考えている。
また、ヘッセンベルグ多様体のコホモロジー環としての意味づけが完了したイデアル配置に対応するSolomon-寺尾代数についてもより深く研究する。この証明中において大きな役割を果たしたものが、ヘッセンベルグ多様体の同変コホモロジーであるが、研究代表者は、この同変コホモロジー環とも同型な環が、イデアル配置から構成できるのでは、という感覚を持っている。よっていわば、同変Solomon-寺尾代数を考察し、その一般論を構築する。本年度の結果の証明がそうであったように、同変の理解が普通のSolomon-寺尾代数の理解を促進する可能性もある。
最後に幾何学的表現論的理解であるが、29年度はこれに本格的に注力してゆく。榎本氏、木村氏と打ち合わせをすでに数度済ませており、問題意識のすり合わせは完璧であり、同氏らの深い知識により、研究の方向性もはっきりと見えてきているので、まずはワイル配置の場合に制限して、しっかりとした基礎理論を打ち立てたい。
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