2016 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on Mock Modular Forms and Quantum Invariants
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16H03927
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30431901)
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | トポロジー / 代数学 / 量子トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，モックモジュラー形式と量子不変量の総合的研究を行うことにある．これまでの研究により，トーラス結び目の色つきジョーンズ多項式やザイフェルト多様体のウィッテン・レシェティヒン・トゥラエフ (WRT) 不変量は，モックモジュラー形式と密接な関係があることが知られている．これらは量子モジュラー形式の代表例として挙げることができ，数理物理学や超弦理論をはじめとするさまざまな分野の研究者から注目を集めている．本年度はJeremy Lovejoy (CNRS) との共同研究によって，トーラス結び目T(2,2t+1)のデーン手術から得られるザイフェルト多様体について研究を行い，そのWRT量子不変量のヘッケ型ｑ級数との関連性を示し，１の冪根での漸近的なふるまいの解析を行うなど量子モジュラー形式との関係を明らかにした．
また，金子（九大，連携研究者）・伊吹山（阪大）とともにモックモジュラー形式に関する国際研究集会を九州大学において開催した．一線で活躍する3名の海外研究者を講師として迎え，40名以上の参加者による活発な議論がもたれた．特に，最近発展の著しい不定値二次形式にともなうq級数についての知見を深めることが出来た．
研究分担者も量子不変量の基本群との関係やクラスター代数，行列模型といった関連分野における論文を出版し，また国際研究集会での招待講演を行うなど成果をあげるとともに，研究グループにおいて関連の話題について情報交換を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元多様体のWRT不変量に代表される量子不変量は一般にはパラメータ q が１の冪根のときに構成されるが，１の冪根において量子不変量と一致するようなｑ級数を構成することが可能な場合がある．Jeremy Lovejoy (CNRS)との共同研究において，トーラス結び目T(2,2t+1)から構成されるザイフェルト多様体の量子不変量について研究を行い，モジュラー形式との関係を明らかとした．この結果は，国際誌 “Communications in Number Theory and Physics” に投稿，査読を経て既に掲載が決定している．
また，ここで得られたような量子不変量とモックモジュラー形式についての結果について，国際研究集会において招待講演を行うなど，順調に研究を遂行している．
さらにまた，モックモジュラー形式を主テーマとする国際研究集会を日本ではじめて開催した．福岡での開催にもかかわらず，各地より40名を超える参加者を集めた．これにより，本研究の重要性を知らしめるとともに研究成果の発信に成功したものと確信する．
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| Strategy for Future Research Activity |
Jeremy Lovejoy (CNRS) との国際共同研究をいっそう進める．すでにさまざまな3次元多様体の量子不変量に付随するｑ級数の解析を行ってきているが，不定値二次形式があらわれることがある．このようなｑ級数の解析は困難であったが，最近進展が見られた．この方法に詳しい Rolen (今年度開催した研究集会での招待講演者のひとり）と議論を重ねることにより，さらなる発展をめざす．また，量子不変量やモジュラー形式に関する国際研究集会に出席し，成果を発信するとともに，最新の手法を学び，本研究のさらなる発展をめざす．
また，研究分担者と関連分野について意見交換を持ち，視野をひろげつつ，クラスター代数やDAHAの手法を取り入れ研究を推進する．
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| Remarks |
（１）：科学研究費の援助のもと開催した研究集会のホームページ
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