2017 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on Mock Modular Forms and Quantum Invariants
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16H03927
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (30431901)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数理物理 / トポロジー / 代数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
*)３次元多様体の量子不変量は，一般には量子化パラメータqが１の冪根のときに構成されるとみなせる．J.Lovejoy(フランス)と共同で，無限ｑ級数のうち冪根の極限においてある3次元多様体の量子不変量を与えるものの数論的構造を考察した．結果をまとめた共著論文が査読を経て国際誌Communications in Number Theory and Physicsから出版された．
*) 3次元双曲多様体の体積は二重対数関数を用いて書き表せるため，同じ関数が重要である量子クラスター代数を用いた新たな記述が可能であると期待できる．この方針に基づき，結び目の量子不変量を構成する上での基本的な手法であるスケイン関係式について結果を得た（arXivに投稿）．また，トーラスおよび球面上のスケイン関係式に関する多項式表示についてのいくつかの結果を得た．
*) Alexandrov-Banerjee-Manschot-Piolineによって，不定値二次形式型テータ函数のモジュラー性についての扱いが提案された．SU(n)量子不変量のモジュラー性の計算にこの手法が応用できることが期待でき，いくつかの結果を得た．
*) 研究分担者も量子不変量の新たな側面についての結果を得た．
*) 国際研究集会「Modular Forms and Quantum Knot Invariants」をJ.Lovejoy, R.OsburnとともにBanff International Research Station (カナダ)にて主催した．数論，トポロジー，物理のさまざまな分野の研究者が世界各国より約40名集まり，最新の話題，今後の方針などについて活発な議論を持つことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ある種の3次元多様体の量子不変量と密接に関連する無限ｑ級数をあらたに構成し，解析的性質をJ.Lovejoyとともに考察した．それをまとめた共著論文が査読を経て国際専門誌に出版された．
また，ある曲面上のスケイン関係式についての新しい結果を得てarXivに投稿し，量子不変量のあらたな側面を明らかにしようと順調に研究をすすめている．
さらに，本研究計画当初に企画していたBanff数学研究所（カナダ）における国際研究集会「Modular Form and Quantum Knot Invariants」開催が審査を経て採択され，2018年3月に実現した．研究代表者はJ.Lovejoy, R.Osburn氏とともに世話人を努めた．結び目・3次元多様体の量子不変量およびモジュラー形式に関する国際研究集会であり，各国より一線で活躍する研究者を招聘した．多くの議論を通じて研究代表者が本研究課題によって得てきた成果を発信することができたと共に，今後の研究推進に有意義な最新の知見を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
1) これまでの研究によって得た，3次元多様体のSU(2)量子不変量とｑ級数の関係を発展させる．ｑ級数の多変数化によって圏論的な特徴付けを試みる．
2) これまでは主にSU(2)量子不変量を取り扱ってきたが，SU(n)不変量のモジュラー性についての研究を進める．
3) この際，研究分担者と意見交換を持ち，視野を広げ，さまざまな手法をとりいれて研究を推進する．多様な研究背景をもつ研究分担者との議論を通じて，本研究のあらたな展開を探る．
4) 本研究計画によって得られた成果を発信するため，いくつかの国際研究集会に参加する．1) 2)における解析において困難が生じる場合には，Bringmann(ドイツ)ら共同研究者と積極的に議論をもち打開を図る．
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