2019 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on Mock Modular Forms and Quantum Invariants
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16H03927
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30431901)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 量子不変量 / 量子トポロジー / 量子モジュラー形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，モックモジュラー形式と量子不変量の総合的研究を行うことにある．これまでの研究により，トーラス結び目の色つきジョーンズ多項式やザイフェルト多様体のウィッテン・レシェティヒン・トゥラエフ (WRT) 不変量は，モックモジュラー形式と密接な関係があることが明らかにされてきた．最近の言葉を用いると，これらは量子モジュラー形式の代表例としてみなすことができ，数理物理学や超弦理論をはじめとするさまざまな分野の研究者から注目を集めている．研究代表者は，ヤコビ形式への応用を探るため，本年度は前年度にひきつづき，二重アフィン・ヘッケ代数（DAHA）を用いた量子不変量の構成に取り組んだ．DAHAはもともとｑ直交多項式にの記述のためにチェレドニクにより導入されたものであるが，トーラス結び目の量子不変量の構成に有用であることが示されていた．A型およびC型のDAHAをうまく併せ持ちいることによって，種数２の曲面上の結び目の不変量を構成できることを示した．より高種数の曲面上の結び目についても研究を進めている．
表現論的手法のトポロジーへの応用として，スケイン代数との密接な関係が指摘されているクラスター代数についても研究を行った．クラスター代数を用いた量子不変量の構成についても研究を行い，R行列の構成についていくつかの結果を得た．
また，反復トーラス結び目とよばれる結び目族の量子不変量の漸近解析に取り組み，ライデマイスター捻れとの関連性を厳密に示すとともに，さまざまな量子不変量の漸近解析における位相的漸化式の有用性についてのいくつかの結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
COVID19の影響により年度末に予定していた出張が行えず，研究費繰越をおこなった．共同研究者と今後の研究方針についての深い討論を持つ予定であったが，叶わなかった．しかしながら，当該年度についてはCOVID以前に上述の成果を得ることが出来，国際雑誌に成果を発表できているため，順調と判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
新たに提出した種数２の曲面上のDAHAの研究をよりすすめ，高種数への応用を探る．また，HOMFLY多項式などの量子不変量への応用を探る．また，Jeremy Lovejoyとの共同研究をすすめ量子モジュラー形式のあらたな展開を探る．COVID19の影響が大きくなっているため，インターネットを広く活用して，共同研究者および当該分野の研究者との議論の機会をもつ必要がある．
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