2018 Fiscal Year Annual Research Report
Homological mirror symmetry and tropical geometry
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16H03930
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
植田 一石 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
東京大学の橋本健治氏と共同で、K3曲面のGromov-Hausdorff極限の研究を行った。Strominger-Yau-Zaslowによって、任意のCalabi-Yau多様体は特殊Lagrangeトーラスファイブレーションを持ち、その双対ファイブレーションを取ることによってミラー多様体が得られるという描像が提唱された。K3曲面に対しては超Kaehler捻りを行うことによって楕円ファイブレーションから特殊Lagrangeファイブレーションが得られるが、その底空間にMcLean計量を入れて得られる特異点付きのMonge-Ampere多様体は、全空間のCalabi-Yau計量の巨大複素構造極限におけるGromov-Hausdorff極限になる事がGross-Wilsonらによって知られている。橋本氏と筆者は、極限として得られるMonge-Ampere多様体の距離空間としての構造からもとの楕円K3曲面が復元できるかという問題に取り組み、一般の楕円K3曲面は極限として得られる空間に複素構造から来る向きを与えたものから一意的に復元できるという結果を得た。
明治大学の野原雄一氏と共同で、Grassmann多様体のLagrange交叉Floer理論に関する研究を行った。特に、Grassmann多様体上の異なる完全可積分系の単調LagrangeトーラスファイバーがLagrange手術で結びついている事を示した。
King's College LondonのYanki Lekili氏と共同で、アファインCalabi-Yau多様体に対するホモロジー的ミラー対称性の研究を行った。特に、可逆多項式のMilnorファイバーに対するホモロジー的ミラー対称性や、Abel多様体から豊富な因子を取り除いて得られるStein多様体に対するホモロジー的ミラー対称性を定式化した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Monge-Ampere多様体は計量と2つのアファイン構造を持ち、しかもそれらのアファイン構造が計量に関してLegendre双対になっている。特殊Lagrangeトーラスファイブレーションの底空間がMonge-Ampere構造を持つ事はHitchinによって指摘された。アファイン構造の一方は複素構造、もう一方はシンプレクティック構造と関連しており、ミラー対称性はこれらの2つのアファイン構造を入れ替える。楕円K3曲面(のJacobianファイブレーション)はその底空間のMonge-Ampere構造から復元されるが、我々はアファイン構造を忘れた計量の情報に、底空間の向きの情報を加えたものから、一般の楕円K3曲面が復元されることを示した。これは大島芳樹氏と尾高悠志氏によるK3曲面のモジュライ空間のGromov-Hausdorffコンパクト化と深く関わる重要な結果である。また、向きを入れ替えたものからはもとの楕円K3曲面のミラーが得られることも分かる。
Grassmann多様体のLagrange交叉Floer理論に関する我々の結果は、Grassmann多様体上の単調Lagrangeトーラスがミラー多様体の中の代数的トーラスを与え、異なる単調Lagrangeトーラスの間の壁越え公式がクラスター変換で与えられ、このクラスター変換で代数的トーラスたちを貼り合わせたもののアファイン化がRietschによるミラーを与える、という描像を示すための重要なステップである。
我々はこれまでにミラーの知られていなかったアファイン多様体に対してホモロジー的ミラー対称性を定式化した。これはそれ自身の興味だけではなく、コンパクトな多様体の深谷圏をアファイン多様体の深谷圏の変形として理解するSeidelのプログラムの観点からも重要である。
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| Strategy for Future Research Activity |
可逆多項式のMilnorファイバーに対するホモロジー的ミラー対称性は、コンパクトな深谷圏に対するものと巻かれた深谷圏に対するものの2つのバージョンがある。このうち、コンパクトな深谷圏に対するバージョンについては、Seidelが創始し、Sheridanが発展させた、シンプレクティック多様体に因子を付け加えることが深谷圏の変形に対応するという観点からのホモロジー的ミラー予想に対するアプローチを用いる。巻かれた深谷圏に対するバージョンについては、近年活発に研究されている、深谷圏の埋め込みに関する関手性を用いて、深谷圏のSebastiani-Thom公式を導出し、それを用いて一般の可逆多項式に対する予想を基本的な場合に帰着する。この基本的な場合は、Fermat型については容易に検証される。また、Abel多様体から豊富な因子を取り除いて得られるStein多様体に対するホモロジー的ミラー対称性については、トーラスの多面体分割からAbel多様体の退化する族を構成するMumfordに遡る手法を用いて、トーリック多様体に対する同様の主張に帰着する。
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