2019 Fiscal Year Annual Research Report
Homological mirror symmetry and tropical geometry
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16H03930
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
植田 一石 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ホモロジー的ミラー対称性 / 非可換代数幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Imperial College LondonのYanki Lekili氏と共同で、ホモロジー的ミラー対称性の研究を行った。特に、次数付き行列因子化の圏が傾対象を持ち、捻られた変形を持たないような、孤立臨界点を持つ重み付き斉次多項式に対し、半普遍変形の底空間の正部分が傾対象の自己準同型代数の自明拡大代数に入るA-infinity構造のモジュライ空間と同型になることを示した。この結果と可逆多項式に関するミラー対称性に関するこれまでの知見を踏まえて、可逆多項式のMilnorファイバーに対するホモロジー的ミラー予想を定式化し、特別な場合に証明した。これらはn+1次元アファイン空間のn+2次超曲面や、n次元アファイン空間の2n+2次超曲面で分岐する2次被覆に対するホモロジー的ミラー対称性を与える。
大阪大学の大川新之介氏及びLoughborough大学のTarig Abdelgadir氏と共同で、非可換del Pezzo曲面の研究を行った。特に、1次元Calabi-Yau圏を生成する球状対象の有限列に対し、この列の定める有向部分圏として、この圏を非可換正準因子として持つ非可換曲面が構成されるという観点によって、非可換del Pezzo曲面が統一的に理解されることを示した。
東京大学の吉田豊氏と共同で、位相的捻りを加えた3次元N=2のChern-Simons matter理論の研究を行った。特に、ゲージ群がU(N)で、M個の基本表現に属するカイラル多重項が入っている場合に、円周と曲面の直積の上の超対称Wilsonループの相関関数が、Grassmann多様体G(N,M)を標的とするK理論的準写像不変量と一致することを予想し、種数0の場合に証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度には、前年度までにK3曲面に対して得られた結果の一般次元への拡張が得られた。n+1次元射影空間のn+2次超曲面は最も基本的なCalabi-Yau多様体であり、ミラー対称性の研究において最初に検討される重要な例である。このCalabi-Yau多様体に対するホモロジー的ミラー対称性に関するこれまでの研究は、このCalabi-Yau多様体からn+2枚の超平面切断を取り除いた補空間が、n次元射影平面から一般の位置にあるn+2枚の超平面を取り除いた補空間の被覆空間になることに基づいていたが、我々はn+2枚の超平面切断の代わりに1枚の超平面切断を取り除いた補空間を考え、これに対するホモロジー的ミラー対称性を、A-infinity構造のモジュライ空間を用いることで証明した。この証明は、深谷圏に対して一般に成り立つと期待されている性質を仮定すると、コンパクトなCalabi-Yau多様体に対するホモロジー的ミラー対称性を自然に導くという特徴がある。また、この超平面切断はn-1次元の一般型多様体であるが、我々はこの超平面切断の深谷圏が、補空間の巻かれた深谷圏のコンパクトなLagrange部分多様体のなす充満部分圏による局所化と同値であるという予想を定式化した。この予想は、２次元以上では証明されている例のない一般型の多様体に対するホモロジー的ミラー対称性を系として導く。これらはホモロジー的ミラー対称性への理解を深める重要な進展である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、Yanki Lekili氏と共同で行っているホモロジー的ミラー対称性に関する研究を更に発展させる。特に、単純特異点のMilnorファイバーに対するホモロジー的ミラー対称性を証明し、その系として単純特異点のMilnorファイバーのシンプレクティックコホモロジー群の計算を行う。また、伊藤敦氏、大川新之介氏および三浦真人氏と共同で行っている、例外型Lie群のGrasssmann多様体上の完全可約ベクトル束の完全交差として得られる3次元Calabi-Yau多様体の分類を完成させ、G2型Lie群のGrassmann多様体上の完全可約同変ベクトル束の完全交差として得られるCalabi-Yau多様体の分類に関する2016年のプレプリントの改訂版として公表する。さらに、spherical 2-desingが2重井戸型ポテンシャルによる相互作用を持つ古典力学的な多体系の停留点を与える事を示した三浦真人氏との共著論文を雑誌に投稿する。新型コロナウィルス感染症の影響で、対面での研究打ち合わせや研究集会が行えないので、研究費は旅費ではなく人件費に使用する。
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