2016 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric quantum representations, iterated integrals and applications to topological field theory
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16H03931
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 反復積分 / 組みひも群 / 高次圏 / 配置空間 / KZ方程式 / モノロドミー表現 / 共形場理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，モノドロミー表現を高次の圏に拡張して，組みひもの間のコボルディズムの表現に応用すること，さらに，このような表現の配置空間のラグランジュ部分多様体が表すサイクルへの作用ととらえて，組みひも群のモノドロミー表現とラグランジュ多様体から構成されるA無限大圏への作用との関係を明らかにすることを目的とする．本年度は以下の進展があった．
ホモトピー・パス亜群のホロノミー表現を，Chenの形式的ホモロジー接続の概念を用て，高次の圏に拡張した．この手法を組みひもについて適用し，配置空間のホモトピー・パス亜群の2次の圏としての表現により，組みひものコボルディズムの圏の表現を構成した．また，これを組みひも群の量子表現の圏化に応用した．
組みひも群のホモロジー表現は，点付き円板の写像類群としての，配置空間のアーベル被覆のホモロジー群への作用として定義され，Krammer, Bigelowらによって研究された．KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べて，KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，つまり，Gauss-Manin接続としての表示されることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
反復積分の手法を用いたホロノミー表現の高次圏への拡張の特異点がある場合に適用して、組みひもコボルディズムの圏の表現を構成することができた．また，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現の研究において，共形場理論と関連した，量子群の1のベキ根における表現の対称性を持つ場合に超幾何積分の構造についての解析の進展があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
組みひも群の表現の高次圏への拡張の成果を用いて，組みひも群の量子表現の圏化についての研究を推進する．さらに，組みひもコボルディズムの圏の表現を曲面組みひもの不変量の構成に応用することを目指す．そのために曲面組みひもの研究を行っている大阪市大の研究グループ等との情報交換を行う．
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