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2018 Fiscal Year Annual Research Report

Geometric quantum representations, iterated integrals and applications to topological field theory

Research Project

Project/Area Number 16H03931
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

河野 俊丈  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80144111)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 加藤 晃史  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
Project Period (FY) 2016-04-01 – 2021-03-31
Keywords組みひも群 / 配置空間 / 共形場理論 / KZ方程式 / 量子群 / 超幾何関数 / 高次圏 / 位相的場の理論
Outline of Annual Research Achievements

本年度は,モノドロミー表現の理論を高次圏に拡張することをテーマとして研究を遂した.具体的には,反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を発展させて,多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現を構成した.この枠組みを配置空間の場合に応用して,組みひものコボルディズムの圏の表現を構成して,4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量の構成についての研究を進めた.さらに,無限小組みひも関係式の圏化およびKZ接続の圏化についての理論を発展させた.昨年度に引き続き,組みひも群のホモロジー表現に関する研究を行った.特に,KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて,組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした.共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり,共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ.この場合に,積分サイクルの構造を詳しく調べて,KZ方程式が,代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること,Gauss-Manin接続として表示されることを示した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現について,反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を用いた体系的な理論を構築することができた.これまでに研究されてきた,2-接続の理論との関係が明らかになった.組みひもコボルディズムのなす高次の圏の表現について,反復積分の手法を用いた新たな展開があった.この研究は,量子不変量の圏化の問題においても重要な役割を果たすともに,4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量への応用が期待される.

Strategy for Future Research Activity

高次圏の表現に関わる新しい展開があったので,ホモトピー論における圏論的手法についての研究者と共同して研究を進めていく.また,4次元空間内の2次元結び目への応用が期待されるため,この方面の研究者とも積極的に情報交換を進めていく.

  • Research Products

    (16 results)

All 2019 2018 Other

All Int'l Joint Research (2 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 6 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (3 results)

  • [Int'l Joint Research] University of California, Berkeley(米国)

    • Country Name
      U.S.A.
    • Counterpart Institution
      University of California, Berkeley
  • [Int'l Joint Research] IRMA, Strasbourg(フランス)

    • Country Name
      FRANCE
    • Counterpart Institution
      IRMA, Strasbourg
  • [Journal Article] Morita's trace maps on the group of homology cobordisms2019

    • Author(s)
      Gwenael Massuyeau, Takuya Sakasai
    • Journal Title

      Journal of Topology and Analysis

      Volume: 未定 Pages: 未定

    • DOI

      10.1142/S179352531950064X

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Configuration spaces, KZ connections and conformal blocks2018

    • Author(s)
      Toshitake Kohno
    • Journal Title

      Oberwolfach Reports

      Volume: 2 Pages: 52--54

    • DOI

      10.4171/OWR/2018/2

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 曲面の写像類群と自由群の外部自己同型群のコホモロジーに関するこれまでの歩みと最近の進展2018

    • Author(s)
      逆井卓也
    • Journal Title

      数学(日本数学会)

      Volume: 70-3 Pages: 225--254

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Higher category extensions of holonomy maps and iterated integrals2019

    • Author(s)
      Toshitake Kohno
    • Organizer
      Higher structures in algebra, geometry and quantum field theory, University of Hamburg
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Mathematical forms - collection of geometric models at the University of Tokyo2019

    • Author(s)
      Toshitake Kohno
    • Organizer
      Tokyo-Berkeley Symposium "Forms in Nature and Art"
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Quantum symmetry in homological representations of braid groups2019

    • Author(s)
      Toshitake Kohno
    • Organizer
      East Asian Conference on Geometric Topology
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 力学の変遷 ―古典・量子・弦―2019

    • Author(s)
      加藤晃史
    • Organizer
      日本数学会 市民講演会
    • Invited
  • [Presentation] Higher category extensions of KZ connections and representations of braid cobordisms2018

    • Author(s)
      Toshitake Kohno
    • Organizer
      101e rencontre entre mathematiciens et physiciens theoriciens, IRMA, Strasbourg
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] グラフホモロジーとモジュライ空間のホモロジー群2018

    • Author(s)
      逆井卓也
    • Organizer
      種々の幾何学的構造と基本群に現れる様々な特性類とその不変量への応用
    • Invited
  • [Presentation] Computations on Johnson homomorphisms2018

    • Author(s)
      Takuya Sakasai
    • Organizer
      Cohomological study of mapping class groups and related topics, IRMA
    • Int'l Joint Research
  • [Remarks] Toshitake Kohno's Homepage

    • URL

      http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/

  • [Funded Workshop] Interdisciplinary Workshop "Mathematics and Pharmaceutical Sciences"2019

  • [Funded Workshop] Tokyo-Berkeley Data Science Boot Up Camp2018

  • [Funded Workshop] Tokyo-Berkeley Symposium "Forms in Nature and Art"2018

URL: 

Published: 2019-12-27  

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