2018 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric quantum representations, iterated integrals and applications to topological field theory
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16H03931
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 配置空間 / 共形場理論 / KZ方程式 / 量子群 / 超幾何関数 / 高次圏 / 位相的場の理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，モノドロミー表現の理論を高次圏に拡張することをテーマとして研究を遂した．具体的には，反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を発展させて，多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現を構成した．この枠組みを配置空間の場合に応用して，組みひものコボルディズムの圏の表現を構成して，4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量の構成についての研究を進めた．さらに，無限小組みひも関係式の圏化およびKZ接続の圏化についての理論を発展させた．昨年度に引き続き，組みひも群のホモロジー表現に関する研究を行った．特に，KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べて，KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，Gauss-Manin接続として表示されることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現について，反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を用いた体系的な理論を構築することができた．これまでに研究されてきた，2-接続の理論との関係が明らかになった．組みひもコボルディズムのなす高次の圏の表現について，反復積分の手法を用いた新たな展開があった．この研究は，量子不変量の圏化の問題においても重要な役割を果たすともに，4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量への応用が期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
高次圏の表現に関わる新しい展開があったので，ホモトピー論における圏論的手法についての研究者と共同して研究を進めていく．また，4次元空間内の2次元結び目への応用が期待されるため，この方面の研究者とも積極的に情報交換を進めていく．
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