2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric quantum representations, iterated integrals and applications to topological field theory
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16H03931
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 配置空間 / 共形場理論 / KZ方程式 / 量子群 / 超幾何関数 / 高次圏 / 位相的場の理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ホロノミー表現を函手として高次の圏に拡張する理論を確立した．多様体の基本群の線形表現は，平坦ベクトル束のホロノミー表現と対応するが，この構成を，K.-T.~Chenによる形式的ホモロジー接続を用いて，高次のホモトピー亜群の高次圏としての表現に拡張した．特に，超平面配置について，形式的ホモロジー接続を具体的に記述し，超平面配置の補集合のホモトピー2型について調べた．また，配置空間の場合に，高次のKZ接続を定義し，これまでに得られいたKZ方程式のモノドロミー表現と量子群との関係を圏化することについて研究した．応用として組みひもコボルディズムのなす2次の圏の表現を構成し，2次元組みひもの位相不変量を構成した．組みひも群のホモロジー表現は，点付き円板の写像類群としての，配置空間のアーベル被覆のホモロジー群への作用として定義され，Krammer, Bigelowらによって研究された．KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べて，KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，つまり，Gauss-Manin接続として表示されることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多様体の高次のホモトピー亜群の圏の表現について，反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を用いた体系的な理論を構築することができた．また，KZ方程式の高次圏への拡張について，進展があった．この研究は，量子不変量の圏化の問題においても重要な役割を果たすことが明らかになった．この手法を用いて4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量への応用する研究を展開した．
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| Strategy for Future Research Activity |
高次圏の表現に関わる新しい展開があったので，東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構，信州大学, Leeds大学などのホモトピー論における圏論的手法についての研究者と共同して研究を進めていく．また，4次元空間内の2次元結び目については，大阪大学，神戸大学などをはじめ研究層が厚く，これらの研究グループどの積極的な連携，情報交換に基づいて，2次元結び目についての具体的な応用についての研究を遂行する計画である．
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