2020 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric quantum representations, iterated integrals and applications to topological field theory
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16H03931
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 位相的場の理論 / 反復積分 / 組みひも群 / 量子群 / 共形場理論 / 高次圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多様体の基本群の線形表現は，平坦ベクトル束のホロノミー表現と対応するが，この構成を，高次圏に拡張する研究を行なった．具体的には，形式的ホモロジー接続を用いて，高次のホモトピー亜群の高次圏としての表現に拡張した．特に，超平面配置について，形式的ホモロジー接続を具体的に記述し，超平面配置の補集合の2次ホモトピー型について調べた．また，配置空間の場合に，高次のKZ接続を定義し，さらに，これまでに得られていたKZ方程式のモノドロミー表現と量子群との関係を高次圏に拡張することについて研究した．応用として組みひもコボルディズムのなす圏の表現を構成し，Kontsevich積分の2次の圏への拡張として，曲面組みひもとよばれる4次元空間内の曲面の位相不変量を定義した．また，配置空間の場合に，高次のKZ接続を定義し，これまでに得られいたKZ方程式のモノドロミー表現と量子群との関係を圏化することについて研究した．応用として組みひもコボルディズムのなす2次の圏の表現を構成し，2次元組みひもの位相不変量を定義した．組みひも群のホモロジー表現は，点付き円板の写像類群としての，配置空間のアーベル被覆のホモロジー群への作用として定義されKrammer, Bigelowらによって研究された．KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べ, KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，つまり，Gauss-Manin接続として表示される
ことを示した．
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| Research Progress Status |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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