2017 Fiscal Year Annual Research Report
Study on geometric structures of singularities of the mean curvature type flow
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16H03937
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
成 慶明 福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 平均曲率フロー / 特異点 / 最大値原理 / リーマン多様体 / 部分多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究目的を達成するため, 研究代表者と宮岡先生等は平成２９年９月５日から１１日まで第３回日中幾何学研究集会を主催した。さらに研究代表者と研究分担者等は平成２９年１１月３日から６日まで福岡大学微分幾何学研究集会を主催し, 微分幾何に関する研究打ち合わせ及び情報収集を行った。 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造を解明するため, 研究代表者は南開大学のFeng Huitao教授と復旦大学のFu Jixiang教授等を招聘し, 平成３０年３月２５日から３０日まで微分幾何学セミナーを主催した。
1. 研究代表者と研究協力者Wei Guoxin教授と共同でコンパクトで埋め込みλ-超曲面を構成することができた。さらに, ４次元ユークリッド空間内の第２基本形式の長さが一定となる２次元完備ラグランジュセルフ-シュリンカーの分類研究について進展を得た。
2. 研究分担者山田はユークリッド空間の極小曲面である Jorge-Meeks 曲面と同じワイエルストラス・データをもつローレンツ・ミンコフスキー時空の極大曲面は，折り目特異点をもつが，それを越えて時間的極小曲面に解析的に延長される。この延長（の極大なもの）はローレンツ・ミンコフスキー時空に固有に埋め込まれた曲面になることを示した。
3.研究分担者塩谷はisoperimetric profileの比較条件の元で，空間の大きさを測る量であるオブザーバブル分散の比較を得た。さらにそれが最大であるときに，ある種の剛性定理を証明した。これはChengの最大直径定理およびCheeger-Gromollの分割定理の一種になっている。
4. 研究分担者納谷はBolza曲面とよばれる種数2の閉リーマン面上のある特異計量が, 面積一定という条件下でラプラシアンの第１固有値を最大化するという予想を肯定的に解決した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では研究課題の研究計画に沿って部分多様体の部分幾何学に関する研究方法と広義最大値原理を用いて, 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造に関する研究を順調に推進している。特に, 体積保存平均曲率フローのコンパクトで埋め込みλ-超曲面の構成を完成した。平均曲率フローの完備ラグランジュセルフ-シュリンカーの分類研究についても重要な進展を得た。ワイエルストラス・データをもつローレンツ・ミンコフスキー時空の極大曲面に関する研究, isoperimetric profileの比較条件の元で，空間の大きさを測る量であるオブザーバブル分散の比較研究及び種数2の閉リーマン面上のある特異計量が, 面積一定という条件下でラプラシアンの第１固有値を最大化するという予想に関する研究も順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３０年度の研究体制は平成２９年度の体制と同様である。本研究課題の研究計画に沿って, 平成２９年度まで確立した基本的な研究手法を踏まえて, 新しい研究方法を発案する。 それを用いて, これまでの 研究成果に基づき、さらなる研究を行い、研究代表者と研究分担者は国際研究集会と国内研究集会及びシンポジウムに参加・講演を通じて多方面の研究者と交流することを目指す。研究進展具合を踏まえながら、次のような計画を考えている。
ユークリッド空間内の平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーに関する研究を行う。特に、ユークリッド空間内の完備ラグランジュ・セルフ-シュリンカーの分類を研究する。漸近円錐エンドをもつ完備セルフ-シュリンカーの一意性を研究する。さらに, 重み付き体積を保つ平均曲率フロー型の完備λ-超曲面に関する研究及び平均曲率フローのセルフ-シュリンカーに関する研究を行い、完備セルフ-シュリンカーに関する定理を完備λ-超曲面に拡張する。
閉リーマン面上でラプラシアンの第１固有値に関する研究, ワイエルストラス・データをもつローレンツ・ミンコフスキー時空の極大曲面に関する研究及びisoperimetric profileの比較条件の元で，空間の大きさの研究を推進する。
本研究の目的を達成するために最大限に努力する。
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