2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study on geometric structures of singularities of the mean curvature type flow
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16H03937
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
成 慶明 福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 平均曲率フロー / 特異点 / 最大値原理 / リーマン多様体 / 部分多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究目的を達成するために、研究代表者と研究分担者はその分担領域に応じて、最大値原理を用いて平均曲率フローの特異点を分類する解析的研究手法などで 平均曲率型フローに現れる特異点の幾何構造の解明に関する研究を行った。研究代表者と宮岡教授等は令和元年年９月1日から7日まで立命館大学にて第5回日中幾何学研究集会を主催した。さらに研究代表者と研究分担者等は令和元年年11月1日から4日まで福岡大学微分幾何学研究集会を主催し、微分幾何に関する研究打ち合わせ及び情報収集を行った。 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造を解明するため、 研究代表者は南開大学のZhang Weiping教授と四川大学のLi Anmin教授等を招聘し、立命館大学にて研究打ち合わせ及び情報収集を実施した。
1. 研究代表者と研究協力者華南師範大学のWei Guoxin教授と共同で重み付き体積保存平均曲率フローの完備λ-超曲面を研究し、第２基本形式の長さが一定となる完備λ-曲面を完全に分類した。さらに、 完備λ-超曲面が面積の増大度を持つ必要十分条件は完備λ-超曲面がproperであることを証明した。
2. 研究協力者Wei Guoxin教授と共同で はめこみコンパクトセルフーシュリンカー及び埋め込みコンパクトλ-超曲面を構成した。
3. 研究分担者山田はローレンツ多様体 M の零平均曲率超曲面の光的点 P が 退化であるとき、超曲面上の退化点集合は P を通る M の光的測地線分を含むことを示し、その応用としてベルンシュタイン型定理の一般化を与えた
4. 研究分担者塩谷は次元が無限大へ発散するような楕円の列が与えられたとき、ある部分列がガウス空間へ集中位相に関して収束することを証明した。
5.研究分担者納谷は球面内の高種数の極小閉曲面を構成する問題について研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
理由：本研究では研究課題の研究計画に沿って最大値原理を用いて、平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造に関する研究を推進している。特に、体積保存平均曲率フローのコンパクトで埋め込みλ-超曲面と平均曲率フローのはめこみコンパクトセルフ-シュリンカーを構成した。さらに第２基本形式の長さが一定となる完備λ-曲面を完全に分類した。ローレンツ多様体 M の零平均曲率超曲面の光的点 P が 退化であるとき、超曲面上の退化点集合は P を通る M の光的測地線分を含むことを示し、その応用としてベルンシュタイン型定理の一般化を与えた。次元が無限大へ発散するような楕円の列が与えられたとき、ある部分列がガウス空間へ集中位相に関して収束することを証明した。球面内の高種数の極小閉曲面を構成する問題について研究も進展を得た。しかしながら、コロナウルズの影響で、研究打ち合わせ及び最新情報の収集のため、国内外の出張と研究協力者の招聘ができなくなり、研究進展に大きく影響した。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和３年度の研究体制は令和２年度の体制と同様である。本研究課題の研究計画に沿って、令和元年と令和２年度まで確立した基本的な研究手法を踏まえて、 新しい研究方法を発案する。 それを用いて、これまでの 研究成果に基づき、さらなる研究を行い、研究代表者と研究分担者は国際研究集会と国内研究集会及びシンポジウムに対面またはオンラインの形式で参加・講演を通じて多方面の研究者と交流することを目指す。研究進展具合を踏まえながら、次のような計画を考えている。
平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーに関する研究を行う。特に、ユークリッド空間内の第２基本形式の長さが一定となる完備セルフ-シュリンカーの分類を研究する。さらに、重み付き体積を保つ平均曲率フロー型の完備λ-超曲面に関する研究及び平均曲率フローのセルフ-シュリンカーの第２ギャップに関する研究を行い、完備セルフ-シュリンカーに関する定理を完備λ-超曲面に拡張する。球面内の極小超曲面のChern問題とChern予想について研究し、研究成果をえるように努める。
閉リーマン面上でラプラシアンの第１固有値に関する研究およびワイエルストラス・データをもつローレンツ・ミンコフスキー時空の極大曲面に関する研究を推進する。
本研究の目的を達成するために最大限に努力する。
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