2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03938
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ラフパス / 熱核 / パス空間 / 経路依存方程式 / 確率微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は(1)パス空間上のOrnstein-Uhlenbeck作用素のスペクトルの研究に必要な熱核の対数微分の表示の研究、(2)ラフパスで駆動される方程式(RDE)のうち経路依存方程式の解の存在・連続性と具体的な方程式での研究、(3)1次元のRDEの近似誤差についての補間を用いた研究を行った。
(1)については、Elworthy-Trumanの公式を用いた熱核の表示を用いて計算するが、その過程でRuseの不変量の対数微分を計算し、よい評価を得る必要がある。回転対称の時は、事情が簡単になるが、そうでない場合が問題である。今回の計算で回転対称の場合は0になり消えるがそうでない場合に消えずに残る項が見いだせた。摂動的に考えれば、この項の微分の挙動が良ければ、求めたい熱核の対数微分の評価が証明できるはずである。この項の計算は次年度以後の課題としたい。
(2)の経路依存方程式としては、これまで主に反射壁確率微分方程式のラフパス版を考えて来た。経路依存の確率微分方程式の代表的な例としては、遅れを持った方程式があるが、それ以外に最大値(最小値)過程を含んだ方程式も応用上盛んに研究されて来た。半空間の場合を考えれば最大値過程を含んだ方程式は反射壁過程の方程式と類似の方程式と言える。特に１次元の場合は、perturbed diffusion, perturbed reflected diffusionなどと呼ばれて盛んに研究されて来た方程式である。この方程式の多次元版かつ駆動過程がラフパスである場合の方程式も我々の枠組みに入ることがわかった。
(3)は駆動過程が非整数ブラウン運動の場合、近似方程式と真の方程式を補間する方程式を考え、近似誤差の漸近挙動を決定する研究であり、論文は執筆中である。この補間のアイデアは標準ブラウン運動の場合でも新しいアイデアと思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
我々の経路依存方程式の枠組みに一次元の場合によく研究されて来た確率微分方程式の多次元かつラフパス版の方程式が含まれることがわかったのは興味深い。
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| Strategy for Future Research Activity |
反射壁のラフ微分方程式の一意性を、駆動過程の真の粗さ(true roughness)を考慮に入れて考えて見たい。また、今回得られた熱核の対数微分のうち、回転対称の場合消える項をうまく評価する方法を考察したい。１次元の場合の真の方程式とその近似方程式を補間する方程式を用いた研究を完成し、多次元の場合を考察したい。
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