2016 Fiscal Year Annual Research Report
Development and Extension of Discrete Integrable Geometry
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16H03941
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
増田 哲 青山学院大学, 理工学部, 准教授 (00335457)
廣瀬 三平 芝浦工業大学, デザイン工学部, 助教 (20743230)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 離散微分幾何 / 離散可積分系 / 離散曲線 / ソリトン / τ函数 / 離散正則函数 / パンルヴェ方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 空間離散曲線の等距離等周変形を考察し，渦糸の離散モデルを構築し，τ函数による曲線の一般的な明示公式を得た．また，相似幾何における平面離散曲線の変形理論を確立した．
(2)パンルヴェVI方程式に付随する離散冪函数をD4(1)型の格子から幾何学的に特徴付け，ABS理論との関連を明らかにした．また，離散パンルヴェ方程式の高階版，特にA4(1)型およびE7(1)型対称性を持つ4階の離散力学系を構成し，超幾何解を考察した．さらに，パンルヴェ・離散パンルヴェ方程式の幾何学的理論に関する包括的なレビュー論文を出版し，坂井理論の分類の全ての場合のデータを整備した．
(3) CADにおける美的曲線を相似幾何の枠組みで定式化した．さらに相似曲率を用いた変分原理で特徴付けられることを示し，美的曲線がユークリッド幾何における弾性曲線の相似幾何類似であることを明らかにした．これを用いて，美的曲線を用いたフェアリングにおいて新しい手法を構築できる可能性を示した．
(4)ホドグラフ変換の離散化の理論を確立し，退化Ostrovsky方程式などの方程式の離散化を自己適合移動型格子数値スキームとして構築した．また，相似幾何における離散曲線の変形理論を応用してBroadbridge-Whiteの液体浸透モデルの離散モデルを構築した．
(5)構造方程式がTzitzeica方程式とよばれる2次元戸田方程式の一種（アフィンII型のA2ルート系に対する戸田方程式）で与えられる5次元球面内の水平的極小曲面を考察し，そのリーマン・テータ函数を用いた記述を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散曲線の理論については，ユークリッド空間中の一般等距離等周変形の理論を考察し，陪法線流の離散化とτ函数による明示公式を得た．また，それを渦糸の離散モデルとして数値シミュレーションを行い，十分な安定性と速度を持ち，物理レンダリングのコアアルゴリズムとして実用性を持つことが判明した．また，相似幾何における離散平面曲線の変形理論を確立し，それを応用してBroadbridge-Whiteの液体浸透モデルの離散化を自己適合移動型格子数値計算スキームの形で得ることができ，ミュレーションも安定して高精度で行うことができた．これらの成果は予定通りである．
また，離散正則函数の理論については，年度後半に急速に理論が進展し，パンルヴェVI方程式に付随する離散冪函数の幾何学的な構造をABS理論の視点を導入することで解明することができ，一般化に向けて確固たる基盤ができた．美的曲線の理論は予定以上に進展し，美的曲線が弾性曲線の相似幾何類似であるという見方を確立することができたことは，想定を超えるよい成果である．
パンルヴェ方程式にかかわるレビュー論文(164ページ）の執筆に予想以上の時間を取られ，他の成果の論文執筆が遅れ気味であるが，次年度にまとめて出版できる予定である．以上のことから，研究計画はおおむね順調に進展していると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は今年度得られた成果を基盤に，予定通り研究を進めていく．離散曲線の理論については，一般等距離等周変形の理論を完成させる．また，美的曲線の相似幾何的変分原理による定式化を完成させ，CADにおける新しいフェアリング手法を確立する．さらに，相似幾何をメビウス幾何などより一般的な枠組みに拡張し，美的曲線の概念を一般化する．
離散正則函数についてはABS理論の有効性が確立されたので，それを援用してE型など大きな対称性をもつ離散パンルヴェ方程式に付随する離散正則函数を構築する．さらに，離散対数函数など非自明に退化して特異性が表れる場合も考察する．
現状で研究計画に特段の問題点は認められないが，理論的な困難が発生した場合は，他の順調に進んでいる項目に注力して効率的に研究を推進する．
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[Presentation] dNLS flow on discrete space curves2017
Author(s)
Kenji Kajiwara
Organizer
The Tenth IMACS International Conference on Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena: Computation and Theory
Place of Presentation
University of Georgia, Athens, USA
Year and Date
2017-03-30
Int'l Joint Research / Invited
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