2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03943
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
宮地 晶彦 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60107696)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
古谷 康雄 東海大学, 理学部, 教授 (70234903)
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
冨田 直人 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10437337)
筒井 容平 信州大学, 学術研究院理学系, 助教 (40722773)
澤野 嘉宏 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (40532635)
小林 政晴 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 実解析 / 調和解析 / 擬微分作用素 / 特異積分作用素 / 分数階積分作用素 / 関数空間 / 偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多重線形特異積分作用素に関する研究成果。(1)多重線形Fourier乗子作用素について、Lebesgue空間とHardy空間での有界性を保証する臨界の微分可能性条件に関する論文と、臨界のBesov空間での重み付き評価に関する論文を発表した。(2)双線形擬微分作用素のexotic classと呼ばれるクラスに対して、臨界の指数でのLebesgue空間とHardy空間での有界性に関する結果を得て論文にまとめた。一部は出版予定、一部は投稿中である。(3)双線形擬微分作用素のforbidden classに関して、これまでに知られていたSobolev空間での結果をTriebel-Lizorkin空間まで拡張した。この結果は偏微分方程式で頻繁に利用されるKato-Ponce不等式の改良を導くものである。
調和解析に現れる非負作用素に関する研究成果。(4)分数階積分作用素の中心型Morrey空間とその重み付き空間での有界性に関する結果を得た。(5)強最大作用素と方向型最大作用素に対して、Fefferman-Stein型不等式を示した。
偏微分方程式への調和解析の方法の応用に関する研究成果。(6)外力が発散形でないNavier-Stokes方程式の時間周期解の存在を示した。(7)Helmholtz分解が成立しないような領域でのStokes作用素のLp空間での有界性を得た。(8)領域上のBMO空間の新たな特徴付けを示し、それを応用して熱方程式とStokes方程式の解の存在と評価に関する結果を得た。(9)短時間Fourier変換をAiry発展方程式の解析に応用した。
調和解析における関数空間の研究。(10)Morrey空間に関係したいくつかの関数空間の性質を調べた。(11)多次元のHausdorff作用素のHardy空間での有界性を保証する結果を論文にまとめた。論文は受理され出版予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重線形のFourier乗子作用素や擬微分作用素など調和解析に現れる多重線形の特異積分作用素の研究は本研究の大きな目標のひとつであるが、研究実績の概要の項の(1), (2), (3)に述べたように、有界性を保証するシンボルの微分可能性の条件やHormanderクラスの指数の条件などについて臨界の場合の結果を得たことは大きな成果である。
多重線形の分数階積分作用素については、重み付き評価に関して、研究実績の概要の項の(4)に述べたように、これまでに知らていた最新の結果をさらに拡張する新しい結果を発見した。この研究はまだ最終的な結果には至っていないが、着実に成果を上げていると言える。いくつかの最大作用素に関する研究では、研究実績の概要の(5)に述べたように、強最大作用素と方向型最大作用素に関して、多変数調和解析の基本的な問題に関する成果を得ている。
調和解析における実関数論の結果を偏微分方程式などの解析に応用することに関しては、研究実績の概要の(6), (7), (8), (9)に述べたように、領域上のBMO空間などを利用してStokes方程式や熱方程式を解析することや、それに関連して領域上のBMO空間の特徴づけなどの成果を得た。
調和解析に現れる関数空間の研究として、研究実績の概要の(10)に述べたように、種々のMorrey空間の性質の研究を進めることができた。研究実績の概要の(11)に述べたHausdorff作用素の研究は、本研究課題のうちに明白には設定していなかったものであるが、これまでに知られてなかった多変数のHausdorff作用素に関する結果を与えるもので、Hardy空間の新たな性質の研究に続くなど今後の発展が期待されるものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
双線形擬微分作用素でシンボルがHormander classに属す場合のLebesgue空間やHardy空間での有界性について、臨界の指数での有界性は昨年度までの研究で確立された。Lebesgue空間とHardy空間を非斉次Hardy空間や非斉次BMO空間で置き換えた場合については、特殊の指数のHormander classにおいてだけ結果が知られているが、一般の場合は未解決である。2018年度以降に非斉次Hardy空間や非斉次BMO空間においても臨界指数での有界性を調べたい。さらにこれらの結果の多重線形の場合への一般化も調べたい。
非負作用素の研究では、2017年度までに分担者田中が中心となって得た正値作用素の解析の方法を他の場合に応用して研究を進める。調和解析に現れる関数空間の研究に関しては、分担者澤野嘉宏が中心となって、種々の形のMorrey空間の研究を進める。調和解析における実関数論の方法の偏微分方程式への応用の研究は、これまで同様、筒井と小林が中心となって進める。
以下の研究集会に参加して、我々の研究成果を随時発表し、研究情報交換と研究討論を行う。International Conference on Harmonic Analysis and its Applications, 6月16-18日、中国。研究集会「調和解析と非線形偏微分方程式」, 6月25-27日、京都大学数理解析研究所。East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications, 2018年8月3-7日、大阪大学。実解析学シンポジウム、10月26-28日、大阪教育大学。調和解析セミナー、2019年3月。その他、関連する研究発表のある研究集会に随時参加して研究情報交換と研究討論を行う。
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