2018 Fiscal Year Annual Research Report
New models of inverse spectral and scattering theory - form discrete to condinuoud
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16H03944
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 逆問題 / 散乱理論 / S行列 / ディリクレノイマン写像 / リーマン多様体 / 量子グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)非コンパクト多様体上の逆散乱理論 (2)量子グラフ上の逆散乱理論 (3)回転面に対する逆スペクトル理論 (4)層状媒質における定常波動方程式 (1) に関してはリーマン計量が微分可能である場合には数年前に完成していたが，錘状特異点を持つリーマン計量を含む場合にまで拡張することができた．無限遠におけるリーマン計量の挙動としては考え得る最も一般な場合まで含んでおり満足すべき結果である．(2) に関しては六角格子の量子グラフに関してS行列から各辺上のシュレーディンガー作用素のポテンシャルを決定する逆問題を解決した．物理モデルとしてはグラフェンを扱っており，応用上も極めて重要である．(3) に関しては回転面のプロファイルを記述する関数空間とスペクトルデータとの間の無限次元解析的写像を構成することによりスペクトル逆問題を解決した．(4) に関しては平行な2層に分かれた媒質内でのヘルムホルツ方程式の解の無限遠における漸近展開を導いた，2層の境界面が存在するために入射波に対して散乱波，屈折波が現れ，その波はある錘面に特異性をもつ．そのため，この問題は古典的な問題でありながら未解決問題として長く残されてきた．得られた結果は完全な解決といってよく大きな意義がある.また古典物理学における逆散乱問題に関してマックスウエル方程式の逆問題を論じた著書を出版した．特に3次元空間における外部領域において有限領域に任意の摂動を与えたときにS行列から境界のベッチ数が定まることをこの本の中で示した．この結果はさらに無限部分がユークリッド空間と微分同相であるような任意のリーマン多様体にも成立し，非コンパクト多様体上の微分形式に対する逆問題としても意義がある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非コンパクト多様体上の逆散乱問題に関してはリーマン計量が微分可能である場合には数年前に完成していたが，昔からの課題である錘状特異点を許す場合にまで結果を拡張するのに大きな困難があったため予想よりも長い期間を要したが，錘状特異点の扱い方を解決することができたためこの懸案は本質的に解決できた．格子系と量子グラフに関する逆散乱問題は予想していたことを解決できた．層状媒質における定常波動方程式は計算が困難であるため長い研究期間を要したが，解決できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
非コンパクト多様体上の逆散乱理論に関しては今の結果を論文として発表する．100ページを超える大きな論文となる．この問題の次の発展として非線形波動に関する問題が重要であり，その研究に着手する．離散系の問題に関しては連続系への収束問題へと進む．層状媒質の問題に関しては当初の目的である半空間での弾性波の漸近展開，特にレーリー波の導出を完成させる．
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