2019 Fiscal Year Annual Research Report
Evolution equations describing non-standard irreversible processes
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16H03946
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梶木屋 龍治 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10183261)
木村 正人 金沢大学, 数物科学系, 教授 (70263358)
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
小池 茂昭 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90205295)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 解析学 / 函数方程式 / 非線形解析 / 不可逆過程 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)破壊現象に特有の強い不可逆性を考慮した偏微分方程式モデルを考える場合, 既存の偏微分方程式論からは逸脱するような強い非線形性を有する問題が生じる. ここでは強い不可逆性を有する勾配系に着目し, 特に多孔質媒体方程式やAllen-Cahn方程式に強い不可逆性を課した問題を扱い, 適切性・解の正則性から解の漸近挙動まで系統的な研究を行った. その際, この問題の複数の同値な書き換えを導出し, それらを使い分けることで解析が格段に進んだ. この書き換えは解の特異性が生じるメカニズムを示唆するものであり, 解の特異性に関する新しい研究課題を生み出す契機となった.
(2)古典的なラプラス作用素に対して知られているLojasiewicz-Simonの不等式をディリクレ境界条件付きの分数冪ラプラシアンに拡張した. 特に非線形項として原点で特異性を持つような函数をカバーするようなFeireisl-Simondon型の拡張になっている点が特徴である. また同不等式を分数冪ラプラシアンを含むCahn-Hilliard系の解の漸近挙動の解析に応用した. 同方程式系は報告者らによって研究がはじめられ, 近年, 多くの後続研究が現れるようになった. またLojasiewicz-Simon型不等式は解の定常解への収束や定常解の安定性解析に応用が可能であるため, 今後より多くの応用が見込まれる.
(3)70年代から非整数階の時間微分作用素を含む発展方程式に対する基礎理論の構築が課題だったが成功していなかった. ここでは2000年代からはじまるR.Zacher氏の一連の研究結果に着目し, それと古典的な発展方程式論の研究の蓄積を組み合わせることで, Brezis-高村理論と同程度の一般論の構築に成功し, それまで解の存在が未解決だった非整数階微分を含む様々な非線形偏微分方程式の適切性を一括して保証した.
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| Research Progress Status |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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