2018 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03947
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
隠居 良行 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80243913)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
水町 徹 広島大学, 理学研究科, 教授 (60315827)
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (70144631)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
中村 徹 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 准教授 (90432898) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 圧縮性Navier-Stokes方程式 / 周期パターン / スペクトル / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 2次元無限層状領域における圧縮性Navier-Stokes方程式の時空間周期解の周りの線形化発展作用素のスペクトル構造を空間変数に関するBloch変換と時間変数に関するFloquet解析を用いて調べたが，その解析にもとづいて今年度はさらに非線形相互作用を解析し，非線形問題の解の漸近挙動を調べた．結果を論文にまとめているところである．
2. 非圧縮Navier-Stokes方程式とその特異摂動系である人工圧縮方程式系について，両方程式系の定常解のまわりの線形化作用素のスペクトルの関係における境界層の影響を調べた．人工圧縮方程式系は非圧縮Navier-Stokes方程式の連続の方程式に小さいパラメータ（マッハ数）を乗じた圧力の時間微分を加えて得られる半線形の双曲-放物型方程式系であり，圧縮性Navier-Stokes方程式と同じく非圧縮Navier-Stokes方程式をマッハ数ゼロの極限としてもつ．前年度までの研究によって，マッハ数が小さければ，定常分岐解の分岐安定性構造は，人工圧縮系と非圧縮系とでは同一になることがわかっていたが，今年度は人工圧縮方程式系のHopf分岐の特異極限問題を考察し，非圧縮性Navier-Stokes方程式においてHopf分岐が起こるとき，マッハ数が小さければ人工圧縮方程式系でもHopf分岐が起こることを示した．現時点では，マッハ数に関する一様評価が成立するかどうかは一般にはわからない状況である．このことは定常分岐問題の結果とは異なる．しかしながら，Hopf分岐の場合でも，静止状態からHopf分岐が起こる場合はマッハ数に関する一様評価が得られることを示し，この評価により，マッハ数が小さければ，Hopf分岐時間周期解の分岐・安定性構造が非圧縮系と人工圧縮系とで同一のものとなることを示した．例として，塩分濃度を考慮に入れた熱対流問題があげられる．この結果を論文にまとめているところであり，一般の場合は今後の課題として残った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限層状領域における圧縮性Navier-Stokes方程式の時空間周期解のまわりの線形化発展作用素のスペクトル構造の空間変数に関するBloch変換および時間変数に関するFloque解析にもとづいて，非線形問題の解の漸近挙動の詳細を得ることができた．人工圧縮方程式系の時間周期解のまわりの線形化発展作用素に対するFloquet解析を実行するために，マッハ数の重み付きのノルムを導入したエネルギー法を完成させ，ある状況下ではマッハ数に関する一様評価をともなう形でFloquet解析を行うことができた．このことにより，圧縮性Navier-Stokes方程式の時空間周期解のまわりでの時間発展問題に対するマッハ数ゼロの特異極限問題の解析への道が開けてきた．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度に引き続き，人工圧縮系の定常解まわりの線形化作用素のスペクトルに関して，虚部がマッハ数の逆数のオーダーの部分のスペクトルの形式的漸近展開に数学的証明を与え，非線形安定性を考察する．さらに，その解析を圧縮性テイラー渦のまわりの解のダイナミクスの解析へと拡張する．人工圧縮系のHopf分岐に関して一般の定常解から時間周期解が分岐する場合に，マッハ数に関する一様評価の導出を行い，圧縮性Navier-Stokes方程式のHopf分岐問題への解析へとつなげる．
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