2017 Fiscal Year Annual Research Report
New developments of the theory of viscosity solutions and its applications
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16H03948
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
小林 和夫 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80103612)
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
三竹 大寿 広島大学, 工学研究科, 准教授 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 粘性解 / 退化楕円型方程式 / 漸近問題 / 最適制御 / ハミルトン・ヤコビ方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1階非線形偏微分方程式、2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式に対する粘性解理論とその応用の研究を進めた。弱KAM理論との関連ではハミルトン・ヤコビ方程式の周期的均質化について収束率の評価の研究を進めた。P. E. Souganidis氏とH. V. Tran氏との共同研究として、粘性係数が空間変数に依存する場合に、Langevin方程式に対するSmoluchowski-Kramers近似の収束を考察し、抵抗係数が領域の一部で0に収束する漸近問題を研究し、前年度の研究を進展させた。抵抗係数が0に領域の一部で収束する漸近問題の部分領域に対する条件を精密化する研究課題を更に進めた。I. Birindelli氏とG. Galise氏との共同研究により、完全非線形退化楕円型方程式(短縮ラプラス方程式)に対する固有値問題を考察し、Faber-Krahn型の固有値の領域に関する依存性を調べた。領域としては体積を一定に保った直方体の族を考え、対応した主固有値に注目すると立方体の時に最大となりラプラス方程式の場合とは逆になるという結論を得た。固有関数の存在に関する一般的な結論を求めて現在共同研究を進めている。復旦大学を訪問し。Jun Yan氏のグループとの共同研究として、ハミルトン・ヤコビ方程式の弱連立系について、初期値問題の一意可解性に関する研究を進め、非常に一般的な結果を得ることに成功した。Trudinger氏との共同研究では、退化楕円型方程式に対するノイマン型境界問題の問題点を調べ、この境界条件の下での粘性解に対する比較定理について考察した。割引消去問題に関して昨年度の研究を進めて、領域が有界でない場合の研究を進めある程度の進展を見た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
偏微分方程式に対する幾つかの漸近問題（割引消去、Smoluchwski-Kramers近似、準安定性）に関するこれまでの成果と非線形固有値問題、初期値問題に対する一意可解性等に関する成果から順調に進展しているものと判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
割引消去、Smoluchowski-Kramers近似、準安定性に関するこれまでの研究をより広い視点から問題を探り、これ等の研究を一層発展させる。非線形固有値問題の研究を完成度の高いものにする。初期値問題、境界値問題に対する一意可解性の研究は最重要課題として研究を一層進める。
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