2019 Fiscal Year Annual Research Report
New developments of the theory of viscosity solutions and its applications
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16H03948
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
石井 仁司 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (70102887)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
小池 茂昭 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90205295)
三竹 大寿 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 粘性解 / 退化楕円型方程式 / 漸近問題 / 最適制御 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間2次元の場合に限定して、領域としては第一象限を取り上げ、非線形ノイマン型境界条件を持つハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の可解性を研究した。この様な角のある領域に対する既存の研究結果では、境界条件に正斉次性を課した研究が知られているが、正斉次性の条件を取り除いた可解性の結果を得ることが出来た。空間次元が2次元に限られること、空間2次元に限っても強い条件を課す結果であることなど今後の課題は大きい。角のある領域ではどのようなノイマン型境界条件境界条件が粘性解の存在と一意性を保証するかという基本問題には未だ何も答えられていない状況であり、得られた結果が新しい研究の礎になることを期待したい。ハミルトニアンの依存性が一様にリプシッツ連続である様なハミルトン・ヤコビ方程式に対してBarron-Jensenにより導入された下半連続解の概念が適合していることを示した。この解について、比較原理と下半連続な初期関数に対する初期値問題の解の存在と比較原理を証明した。更に、この解が対応した制御問題の値関数として表現できることを示し、解の時間無限大での収束の為の十分条件を導き、定常問題の解の分類を行った。ハミルトン・ヤコビ方程式系に対する割引率消去問題に関連して、割引率消去の際に極限関数の一意性を保証する条件として、系の単調性に加えて未知関数に関する方程式の凸性が既存の結果では要請される。この凸性の要請が妥当であるかことを示す例がB. Ziliottoにより示されている。これに関連して、より本質が分かりやすい例の構成を行った。
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| Research Progress Status |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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