2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03952
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
太田 克弘 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40213722)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田村 明久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (50217189)
小田 芳彰 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (90325043)
藤沢 潤 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (00516099)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 極値問題 / 疎グラフ / マッチング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
極値グラフ理論の従来の研究においては，辺数が頂点数の2乗オーダーであるような密なグラフでは，Regularity Lemma と Blow-up Lemma の組合せが強力な武器であった．本研究では，密ではないグラフ，すなわち疎なグラフにおける極値問題の研究を行った．
元のグラフの頂点数nに対し，頂点数が十分に小さい部分グラフの存在が保証されるような状況においては，元のグラフが疎であっても，局所的な部分に見つかった構造が他に大きく影響せず，別の箇所でも同じ構造が見つけられる可能性がある．このアイディアに基づいて証明することのできたシータグラフに関するこれまでの研究結果を，より一般的な極値問題へ拡張するための知見を得ることができた．
閉曲面上に埋め込まれたグラフは，その制約上自然に疎なグラフとなる．そのようなグラフはその部分構造に特徴的な性質を持つことが知られているが，本研究ではとくにマッチングの拡張性に関する従来研究を発展させ，ある程度離れた距離にあるマッチングを完全マッチングに拡張する問題の研究を推し進めた．
以上の研究による部分的な成果について，2016年11月～12月にロスカボス（メキシコ）で開催された国際会議ACCOTA 2016，2017年1月にアトランタ（アメリカ）で開催された 2017 Joint Mathematical Meetingで発表するとともに，関連研究者と情報交換を行った．国内の研究集会では，2016年12月に龍谷大学で開催された応用数学合同研究集会，2017年3月に首都大学東京で開催された日本数学会などで発表した．また2017年3月には，慶應義塾大学において若手研究者らの活発な研究者交流および研究討論を目的とした研究集会を開催，2016年5月には，組織委員として組合せ論とその応用国際会議（京都）に参加し，国内外の研究者と情報交換を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
点素なシータグラフに関する極値問題の解決をスタート地点として，より一般に，グラフの族に対する極値問題へのアプローチを行っている．これについては，国内外の研究者と討論を重ねており，進捗が見込まれている．また，完全マッチングの拡張性に関する研究は，平面以外の閉曲面への展開，三角形以外の面を許したグラフに対する展開が進んでおり，さらなる進展が見込める．森グラフに関する極値問題については，直接的な進展はなかったものの，疎なグラフに対する極値問題の一般的なアプローチから得られた知見は，今後の展開に大いに役立つと思われる．以上の理由により，研究はおおむね順調に進展していると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は，従来の研究の延長線上にある，グラフの族に対する極値問題，閉曲面上のマッチング拡張性，サイクル分解問題などを中心に研究を進めた．研究の当初の目標の一つであった森グラフに関する極値問題については，これまでに得られた知見を活かして解決に向けた研究を推し進める．森グラフの研究には，Erdos-Sos予想の解決に向けたSimonovitsらの研究手法が大いに参考になると思われ，その調査研究も並行して行っていく．
同じ長さの偶サイクルが点素に見つかるための条件において鍵となったのは，頂点数 n が十分大きいときには，そのグラフが疎であっても，少しの条件の下で，頂点数が n に比べて十分小さいオーダーの性質のよい部分グラフが存在することであった．この現象を「同じ長さの奇サイクル」に適用しようとすると，密な二部グラフの壁が立ちふさがる．少数の頂点を取り除いて二部グラフになるようなグラフには，点素な奇サイクルは多く存在しえない．したがって「少数の頂点を取り除いても二部グラフにならない」という，Erdos-Posa型の条件を加えた下で，疎なグラフにおける点素な奇サイクルの存在について考えていく．
またマッチング拡張性については，三角形分割以外のグラフに範囲を広げ，三角形でない面の分布の仕方などのより繊細な条件の下での拡張性について考察する．
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