2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03952
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
太田 克弘 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40213722)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤沢 潤 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (00516099)
小田 芳彰 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (90325043)
田村 明久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (50217189)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 極値問題 / 疎グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
極値グラフ理論において最も盛んに研究されているのがハミルトン閉路とその拡張である２因子に関するものである。そのような全域的な構造の存在を保証するには，各頂点の次数がグラフの頂点数に線形な程大きいことを仮定する必要がある。今年度は，必ずしも疎ではないグラフに対する極値問題にも目を向け，とくに２因子をはじめとする次数因子の存在に関する従来型の研究を進めた。そこでは，有向グラフの因子と２部グラフの因子の間に綺麗な関係が発見された。また，因子の次数条件をどの程度まで緩和すると，疎なグラフにおける特徴的な部分構造の発見につながるかについても考察し，各頂点の次数が偶数であるような偶部分グラフがその候補となることを確認し，部分的な成果が得られた。
閉曲面上に埋め込まれたグラフは，その制約上自然に疎なグラフとなる。そのようなグラフはその部分構造に特徴的な性質を持つことが知られているが，本研究ではとくにマッチングの拡張性に関する従来研究を発展させ，ある程度離れた距離にあるマッチングを完全マッチングに拡張する問題の研究を推し進めた。
以上の研究による部分的な成果について，国内の研究集会では，2018年2月に開催された軽井沢グラフと解析研究集会，2018年3月に東京大学で開催された日本数学会などで発表した。また2018年3月には，慶應義塾大学において若手研究者らの活発な研究者交流および研究討論を目的とした研究集会を開催，2018年3月には，The 5th Taiwan-Japan Conference on Combinatorics and its Applications（台湾）に組織委員としても参加し，国内外の関連研究者との研究交流の機会を提供するとともに情報交換を行うことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では，グラフの族に対する極値問題へのアプローチが一つの方向となっている。これについては，密なグラフに関する調査研究が先行する形ではあるが，国内外の研究者と討論を重ねており，進捗が見込まれている。また，完全マッチングの拡張性に関する研究は，従来行われてきた閉曲面上のグラフに関するものに加え，位相幾何学的性質から離れたグラフに対する展開も進んでおり，進展が見込める。森グラフに関する極値問題については，Simonovitsらの研究に関する調査を進めており，直接的な成果は得られていないものの，疎なグラフに対する極値問題の一般的なアプローチに関する調査が進んでいる。以上の理由により，研究はおおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は，必ずしも疎ではないグラフに対する極値問題にも目を向け，とくに２因子をはじめとする次数因子の存在に関する従来型の研究を進めた。そこでは，有向グラフの因子と２部グラフの因子の間に綺麗な関係があることが発見された。２因子を偶因子に置き換えることにより，極値グラフが疎になるかどうかについて考え，また有向グラフと２部グラフの間に同様の関係が存在するか考えていく。またそれを踏まえ，どのようなグラフの族に対する極値問題が疎な極値グラフを持つかについてさらに調査研究を進める。
森グラフの極値問題に関連して，Erdos-Sos予想の解決に向けたSimonovitsらの研究で証明の鍵となっている「疎なグラフに対するregularity lemma」についてさらに調査を進める。そこでは，局所的に密な部分グラフにおいて所望のtreeを見出す際にexpanderの概念が重要な役割を果たす。森グラフの極値問題に対してexpanderの概念の適用可能性について調査を行う。また，regularity lemmaは密なグラフではその有用性がよく知られているが，疎なグラフに対するregularity lemmaは，まだ決定版というべきものが知られていない。今後の研究においてその汎用性を探るとともに，本研究への適用についてさらなる調査研究を継続していく。
マッチング拡張性については，与えられるマッチングのサイズを固定することなく，どのような種類のマッチングが疎なグラフにおいても完全マッチングに拡張可能であるか，距離の離れたマッチングなどの可能性について探る。
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