2017 Fiscal Year Annual Research Report
Algebraic Complexity Theory: New Approaches and Algorithmic Applications
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16H05853
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
ルガル フランソワ 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (50584299)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 計算量理論 / アルゴリズム / 代数的問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、理論計算機科学の諸問題を解くにあたり、代数的手法の役割を追究することである。代数的問題の計算量の解析に着目してきた「代数的計算量理論」の研究と、代数的な手法を応用してきた「アルゴリズム理論」をそれぞれ発展させ、結合させることを目標とする。具体的には（Ａ）代数的計算量理論に対する新しいアプローチの開発（Ｂ）代数的手法を新たな理論計算機科学の問題に応用すること（Ｃ）代数的計算量理論に基づく計算問題における計算の複雑さの定量化及び分類を目指す。２９年度はこの３本柱に基づき研究を推進し、以下の成果を得た。
（Ａ）２８年度に引き続き、数学や計算機科学において極めて重要な問題である行列乗算（与えられた二つの行列の積を計算する問題）に関する研究を推進した。２９年度は主に長方形行列の乗算に着目した。近年開発されてきた正方形行列に特化した計算方法を長方形行列に拡張することにより、従来のアルゴリズムより速く長方形行列の乗算を計算するアルゴリズムを構築することに成功した。
（Ｂ）グラフの「ラプラシアン行列」という概念は近代グラフ理論において中核的な役割を果たしている。ラプラシアン行列に関する様々な重要な問題を速く解くアルゴリズムは知られているが、計算に膨大なメモリが必要である。我々は無向グラフのラプラシアン行列に対して、必要なメモリを大幅に減らす方法を提案し、初めての対数メモリアルゴリズムの開発に成功した。
（Ｃ）２者間通信及び分散計算の枠組みで、計算機科学の基礎的な問題である三角形発見問題に対して、アルゴリズムの構築と解析を行った。２者間通信では、特に疎グラフ上の三角形発見問題に着目し、従来のアルゴリズムより効率的な量子アルゴリズムを構築できた。分散計算では、一般のグラフまで対象を広げて、従来のアルゴリズムの大幅な改良に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べたように、2９年度も計画通りに本研究課題の足元を強化する基本的な成果は数多く得ているので、順調に発展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
３０年度は２９年度中に得られた成果をさらに発展させながら、本研究課題の目標を達成するための新たなアプローチを開発していく。具体的には、以下の計画で研究を推進する予定である。
２９年度中に得た代数的計算量理論の研究成果を理論計算機科学の諸問題に適用していく予定である。まずは高次元テンソルの代数的計算量理論に着目し、様々な代数的な性質を検査するアルゴリズム（性質検査アルゴリズム）の開発を目標とすると同時に、代数的問題に対する性質検査アルゴリズムの限界の究明も目指す。次に、計算代数の中核的な問題である群位数問題（与えられている群のサイズを計算する問題）に取り組む。様々な群のクラスに対してアルゴリズムを開発していく予定であるが、３０年度は特に可解群の位数を求める量子アルゴリズムに着目し、高速な量子アルゴリズムの構築を目指す。
分散計算に関する研究も引き続き行う。２９年度中に得た古典分散アルゴリズムを土台にして、分散計算の重要な問題に対して量子分散アルゴリズムを構築する予定である。グラフの直径を求める問題など、様々なグラフ問題に着目し、古典分散計算に対する優位性を確立することを目標とする。また、非局所性及び量子情報理論に基づき、量子分散アルゴリズムの計算時間の新しい解析手法を開発し、量子分散計算の計算能力の限界を明確にすることも目指す。
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