2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16H05993
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 分岐理論 / 特性サイクル / l進層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
kを標数0の体として、Xをその上の滑らかな多様体とする。X上のD加群に対し特性サイクルと呼ばれるXの余接束上のサイクルが佐藤や柏原らにより定義された．このサイクルには与えられたD加群の分岐の情報が含まれており，超局所解析の基本となっている．
さて，正標数体上でのl進コホモロジーはD加群の類似と思われており，様々な局面で互いによく似た振る舞いを示すことが観察されてきた．そのため，特性サイクルをl進層に対して構成し，l進層の分岐を理解することはDeligneの悲願の1つであった．
l進層の特性多様体はBeilinsonにより定義され，特性多様体に量的な情報を加えることにより近年，斎藤毅により遂に特性サイクルが定義された．この特性サイクルを用いてオイラーポアンカレ標数を計算することが出来，Deligneの悲願が達成されたことになる．一方で分岐に関する様々な性質は未だに分かっていない．例えばfというスキームの間の固有射があったとき押し出しの特性サイクルと特性サイクルの押し出しは一致すると予想されているものの，一般には示されていない．また，特性サイクルの理論が完成した場合，次の目標としてイプシロン因子の理解があり，積公式が重要な役割を果たすべきだがこれに関してもどのようにして捉えて良いのか明確になっていない．
本年度はこれら問題を解決すべく，特性サイクルの定義の再考察を行った．これにはLaumonのフーリエ変換で使われる手法を応用する．この再定義により，テスト関数が孤立特性的でない場合の特性サイクルの性質が明らかになり，この設定の下で特性サイクルを定義するための予想を定式化した．この予想が解決できれば非孤立的でない関数も自然に扱えるようになり，イプシロン因子の積公式に関する理解も進むものと考えられる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度の目標は押し出しと特性サイクルの両立性を示すための道筋を明らかにすることであった．両立性の問題はテスト関数が孤立特異的でないときの処理が容易に出来ないことに起因していることは明らかである．これは関数が滑らかであっても，その引き戻しが必ずしも滑らかでないことが正標数の代数幾何で起こることから分かる．そのため特性サイクルの定義に非孤立特性的でないテスト関数を含めれば自然に押し出しとの両立性が導かれるであろうことが分かる．しかし，特性サイクルの定義は孤立特性的であることを強く用いており，そのままの形で非孤立特性的な関数を扱うことは困難であり，斎藤による特性サイクルの定義の再考察が必要であった．
本年度はLaumonによるフーリエ変換のアイディアを用い，孤立特性的な場合の再定義を行い非孤立特性的な場合を含めるための予想を定式化した．斎藤の定義ではテスト関数の近接輪体を考えるが，単純に近接輪体の次元を考えるわけではなく，近接輪体の次元にそのSwan導手を足し合わせた「総次元」を用いる．Laumonはフーリエ変換の研究の中で指数関数を掛け合わせ近接輪体を考えることにより総次元を幾何学的に実現している．本年度は斎藤による総次元は指数関数を掛け合わせ近接輪体を取りその次元を考えることで再定義できることを示した．この方法なら非特性的なテスト関数に関しても意味を持つ．非特性的なテスト関数の場合は次の関数を取ることにより近接輪体の台の次元を下げていくのである．ただし，台の次元を下げきるように関数を取れるかと言うことは自明ではなく，予想という形で次の年度の目標とした．
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| Strategy for Future Research Activity |
非特性関数を取り近接輪体を取ることにより層が出てくる．テスト関数がゼロである場合を除いてこの層の台の次元は初めに固定した層の台の次元より小さくなっている．問題はもう一度同じ操作をしたとき台の次元を小さく出来るかと言うことである．本年度の結果としてこの操作を繰り返すことで層の台の次元を徐々に小さく出来，最終的に次元が0になることを予想した．次元が0の層というのは点の集合に数字がのっている状況なので，まさに斎藤の定義した総次元と捉えることが出来るのである．
この予想を解決するのが次年度以降の目標である．重要なことは近接輪体を取ったとき，近接輪体の振る舞いがきれいになるようにするため底スキームの修正（modification）が必要なことである．修正をいちいちするのは現実的ではない．そのため本研究ではKedlayaによる準安定還元定理の証明で用いられたようにZariski-Riemann空間を用いることで修正の極限状態を考える予定である．
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