2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16H05993
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 特性サイクル / 隣接複体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では特性サイクルをホモトピー的な手法で捉えるのが目標である．特性サイクルは斎藤とBeilinsonによって定義された．Xを正標数体上の滑らかな多様体としてFをX上の構成可能層とする．このときBeilinsonにより特性多様体と呼ばれる余接層の閉集合が定義された．X上の（局所的な）関数fが与えられるとFのfによる隣接複体が考えられるが，その隣接複体の台はFの特性サイクルを用いて記述される．この台が0次元のときfはFに対して孤立的と呼ばれる．この様な孤立的な関数が「十分たくさんある」ことはBeilinsonにより示されており，これらを用いることで斎藤は特性サイクルを定義した．本研究では孤立的でない関数があった場合どのように扱うことが出来るかを明らかにするのが一つの目標である．孤立的でない関数があった場合関数をもっとたくさん取り，それぞれの関数で隣接複体を考えることにより全体として孤立的にすることが可能である．この構成を用いた場合最も非自明なことは関数を連続的に取り替えた場合の隣接複体の変化の様子を記述することである．孤立的な関数の場合，斎藤は高次元隣接複体の理論を用いることでこれらの変化を記述した．我々の一般化された設定の上ではこの変化が「孤立的に連続」でない可能性が出てくる．当面の目標は関数を十分に加えれば孤立的に連続な状況に出来ることである．本年度はこれらの事柄の定式化を行った．特に孤立的に連続であるということの定義をし，孤立的に連続的な状況に出来るための予備的な結果を示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度に問題の大まかな戦略を決定するのが目標であった．本年に関数を多数取ることにより孤立特異的な状況にするための定式化を行ったので，順調に進んでいると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は今回定式化をした結果を証明するのが目標となる．今回の定式化では関数の族に対して「関数を上手に取れば」孤立的に出来るということであった．このとき，隣接複体が自然に振る舞うためには関数族のパラメーター空間を「改変（modification）」する必要がある．しかし改変を行ってしまうと今までになかった部分が現われてしまい，一般的にこの部分のコントロールが困難である．p進コホモロジー論でも同様な状況がKedlayaのsemistable reduction theoremで現われていた．Kedlayaはこの困難を付値論的なリーマン・ザリスキ空間的な視点で捉え直すことにより解決した．本研究でも付値論的な視点から今回の状況を捉え直すことを考えたい．
より具体的には隣接複体を一般に計算するのは極めて困難である．今回の設定で言えば，適当な関数を取ってきた場合それに付随するアルティン・シュライアー層の隣接複体を計算する必要が出てくる．関数が十分に一般だった場合この計算は困難である．しかし，ある種の関数に対しては計算が出来る．私は底空間を改変すれば任意の関数がそのような計算の出来る関数になるのではないかと期待している．この期待をKedlayaの方法を用いて示すためにはまず良い関数を付値論的に捉え直すことが必要である．
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