2016 Fiscal Year Annual Research Report
New development of algebraic geometry viewed from theoretical physics
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16H06335
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森脇 淳 京都大学, 理学研究科, 教授 (70191062)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中島 啓 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00201666)
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
立川 裕二 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (10639587)
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20448400)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
向井 茂 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80115641)
並河 良典 京都大学, 理学研究科, 教授 (80228080)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 数理物理学 / 数論幾何学 / 理論物理学 / 複素幾何学 / モジュライ空間 / 表現論 / アラケロフ幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度末の２月に代数幾何と数理物理学に関係する国内外の指導的な第一人者を集めキッキオフシンポジュウム「数理物理学からの観点からの代数幾何学の展開」を開催した．このシンポジュームは３つの大きな分野，すなわち，代数幾何，数理物理学，アラケロフ幾何からなり，ベテランから若手まで幅広い講演がなされた．これにより，本プロジェクトが目指す代数幾何と数理物理学に係わる研究の拠点形成のためのよいスタートが切れたと考えている．また，申請書に書いた若手の研究者の雇用のための公募を行い，多くの候補の中から理論物理学で顕著な業績が認められた吉田氏を採用するに至った．申請書にあるそれぞれの班の研究実績の概要は以下のとおりである．
①中島，②並河，③望月，④入谷からなる第一班は，それぞれ，① 箙ゲージ理論の場合のクーロン枝の量子変形の詳細な研究，② Conical な複素シンプレクティック特異点の分類，③ 複素多様体上の enhanced ind-sheaf の複体がいつホロノミックD加群の enhanced de Rham 複体になるかについての研究，④トーリック軌道体に対するミラー対称性の研究等を進めた．
⑤森脇，⑥向井，⑦吉川，⑧尾高からなる第二班は，それぞれ，⑤ 算術的力学系においてるディリクレ性の研究，⑥ 代数体上定義されたいくつかのエンリケス曲面の研究，⑦ アーベル的３次元カラビ・ヤウ軌道体に対するBCOV不変量の研究，⑧ モジュライ空間のトロピカル幾何学的コンパクト化の研究等を進めた．
さらに，本事業のオブザーバーとしての立川は，⑨ 2+1次元トポロジカル場の理論の時間反転対称性の量子異常の問題について主に研究を行い，本研究費による研究員吉田は，⑨ グラスマン多様体内の完全交差で定義される3次元カラビ・ヤウ多様体の研究に従事した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
優秀な研究員を雇用することができ，キオフシンポジュウム「数理物理学からの観点からの代数幾何学の展開」を成功裏に終え，おおむね順調に進展している．また，研究単位である第一班と第二班の以下で記述するように着実に成果をあげている．
研究業績の概要にかいた第一班の研究 ①，②，③，④ と第二班の研究 ⑤，⑥，⑦，⑧，および，立川の研究⑨と研究員吉田⑩の進捗状況を簡単に説明したい．① クーロン枝の量子変形の shifted ヤンギアンや，二重ヘッケ代数との関係を研究が進んだ．② 座標環が次数１の部分で生成されるときのは，特異点は半単純複素リー環のべき零軌道閉包に一致することをわかった．③ 提案された問題は曲線への引き戻しに関する条件で特徴づけられた．④ 同変大量子コホモロジーに対するホッジ理論的ミラー対称性が一般的な設定で示された．⑤ 代数体上定義された射影空間上の豊富な因子と多項式写像から生じるグリーン関数の対についてはディリクレ性が満たされることがわかった．⑥ 有限素点上のCoble曲面を具体的に記述することに成功した．⑦ Borcea-Voisin軌道体とミラー５次軌道体に対して，二種類のBCOV不変量を決定した．⑧ 幾何的ミラー対称性のために調べられた崩壊現象の一般化の足がかりを掴んだ．⑨ この問題を超対称ゲージ理論の観点から調べた論文，および純粋に2+1次元のトポロジカル場の理論として調べた論文を発表した．⑩ グラスマン多様体内の完全交差で定義される3次元カラビ・ヤウ多様体をヒッグス相の真空としてもつ2次元超対称ゲージ化線形シグマ模型を構成した．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成 28 度は，本プロジェクトが開始ということもあり，国際研究集会はキオフシンポジュウム「数理物理学からの観点からの代数幾何学の展開」を開催した．幸いにしてこれは成功裏に終了した．今年度は代数幾何と数理物理学に係わる研究の拠点形成のためには，分野を限定し，個々の成果をあげて行くべきと考えている．そのために，申請書の計画のとおり，平成 29 度は「ゲージ理論と代数幾何学」というテーマで国際研究集会を開催する予定である．ゲージ理論と代数幾何学は，80年代からの超対称性ゲージ理論との交流や，90年代以降の，ミラー対称性に始まる超弦理論との交流が活発である．幸い，京都大学にはこの分野の双方に深く関わる世界的研究者として，中島・入谷がおり，最初の重点分野としては相応しいものである．それ以外にも，各班は，それぞれの研究を前年度同様，推し進めていこうと考えている．例えば，代表者が，パリ 7 大学との Chen 氏と進めている高度関数の一般化である．これは体の付値の成す空間に位相と測度を導入し，理論を展開するものである．また，ディリクレ性を保障する十分性も面白い問題であり，自明な付値上でも研究に値する問題になる．その他，算術多様体における極小モデル理論の構築も取り組むべき問題である．このように取り組むべき問題は様々あるが，毎週のセミナーや雇用した研究員を通して全体をまとめ，研究全体が一体化できるように努め，研究の拠点形成とさらなる研究成果をあげたいと考えている．
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