2017 Fiscal Year Annual Research Report
New development of algebraic geometry viewed from theoretical physics
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16H06335
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森脇 淳 京都大学, 理学研究科, 教授 (70191062)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中島 啓 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00201666)
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
立川 裕二 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (10639587)
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20448400)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
向井 茂 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80115641)
並河 良典 京都大学, 理学研究科, 教授 (80228080)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 数理物理学 / 複素幾何学 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は数理物理学と代数幾何学との結びつきを重要視し，ミラー対称性とそれの周辺に関するシンポジュームを11月11日から11月15日にかけて京都大学にて国際シンポジュームを開催し，多くの最新の知見の交流を行うことに成功した．それ以外にも２班から構成する研究グループは活発に研究を進めており，以下のような成果をあげている．
第一班：（中島）アファイン・グラスマン多様体上の構成可能層の性質を抽象化し、ring object として定式化した．特に，幾何学的佐武対応を通じて正規表現に対応する ring object を構成要素として，Moore-立川によって予想されていた新しいシンプレクティック多様体の構成を与えた．（並河）錐的シンプレクティック多様体の中で複素半単純リー環のべき零軌道閉包の特徴付けを行った.（望月）円周と複素直線上の特異モノポールについて,``一般化されたCherkis-Kapustin型(GCK型)''という条件を導入し,そのような特異モノポールと安定パラボリック差分加群との間の小林-Hitchin対応を確立した.（入谷）トーリック軌道体の標準類を保たない双有理変換の下での量子コホモロジーD加群の変化を研究した．（立川）様々な次元の超対称場の理論の数理の研究を続けるとともに，超対称場の理論とトポロジカルな場の理論の関連をしらべることをはじめた．
第二班：（森脇）Paris7大学のHuayi Chen氏との共著の本の執筆を中心に研究を進め，非被約なスキームに対する半ノルム付き拡張定理の証明に成功した，（向井）2変数クレモナ群の研究を続け、射影平面内の6直線の分解群や上野・CampanaのCoble曲面の自己同型群を決定した．（吉川）高次元エンリケス多様体の不変量を解析的捩率を用いて構成し、それにより，ヴェイユ・ピーターソン計量のポテンシャル関数が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本科研費に携わる者はすべて国際的に認知されている研究者であるので個々の研究は計画以上に進んでいると判断している．特に，副代表（科研費上は存在しないがグループをまとめるため設置）である中島の研究成果「新しいシンプレクティック多様体の構成」は「数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開」という本科研費の課題からは著しい成果といえる．それ以外にも並河の「シンプレクティック多様体の研究」，望月の「新しい小林-Hitchin対応」，入谷の「量子コホモロジーD加群」の研究，立川の「超対称場の理論とトポロジカルな場の理論の関連の研究」，森脇の「新しいアラケロフ幾何の枠組みの研究」，向井の「自己同型群の研究」，吉川の「モジュライ空間上の計量の研究」等，すばらしい成果を上げている．
2016 年度に本研究計画を順調に進めて行くためのキックオフシンポジュームを開催し，内外に本研究費によるプロジェクトを知らしめることができた．また 2017 年度には数理物理と代数幾何学との共同研究を重要視し，ミラー対称性に関するシンポジュームを開催した．この研究集会は特に若手の研究社に多くの刺激があった．それにより，京都大学がこの分野のセンターであるという認識は出来つつあると考えている．
個々の成果はすばらしいものであり，当初の計画以上に進展していると理解している．しかしながら，これから後半に入るプロジェクトを束ねていく必要がある．今後の課題としたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き計画を予定どおり進めていく予定である．平成３０年度は本科研費の中間年度にあたるので，「数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開（仮題）」というタイトルで国際シンポジュームを開催する予定である．ただ，主要メンバーである中島と本科研費で雇用されている吉田が東京大学のカプリ研究所に移ったため，研究集会は東京大学のカプリ研究所で行う予定である．もともとは京都大学をこの研究のセンターにする予定であるが，さらに枠を広げ，京都大学・数学教室，京都大学・数理解析研究所，東京大学・カプリ研究所がこの分野を牽引するセンターにすべく，鋭意努力するつもりである．
以上の様な状況により，全体を束ねていく仕事は困難を極めるが，例えば年に2回程度の共同セミナーを開催したいと考えている．これは場所を同じくせずとも，ネットワークを通した電子会議等も考えられるので，是非実現したいと思う．
また，個々の研究者による研究は順調に進んでいるので，さらに進めて行きたい．数学の研究は全体として成果が上がることもあるが，多くの場合は突発的に著しい成果が上がることが多い．予想してできるものではないが，本プロジェクトからもそのような成果が期待できるのではないかと考えている．突発的な著しい成果を孤立させずに，全体の中に取り組み，全体のかさ上げをすることが本プロジェクトの大きな目的であると考えている．
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