2017 Fiscal Year Annual Research Report
Stochastic Analysis on Infinite Particle Systems
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16H06338
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
種村 秀紀 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (40217162)
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / 確率解析 / ランダム行列 / 可解モデル / 確率幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
長田は、1次元の無限次元確率微分方程式で平衡分布が常微分方程式で記述されている場合に、対数微分を計算したが、それが多くの具体例を含むことが判明した。江崎-種村は、ジャンプ型無限粒子系において、特に、大きなジャンプがあり場合の研究に取り組んだ。河本-長田-種村は、無限粒子系に付随するDirichlet形式の一意性を、確率微分方程式の解の一意性の下で証明した。
笹本は、１次元可積分確率過程の研究が着実に進めた。例えば、q-TASEPと呼ばれるモデルに関して、初期条件がランダムである場合には、モーメントが発散するという問題が以前から知られていたが、モーメントを経由しない新しい手法を開発することにより、困難を解決した。
香取は、ランダム行列に関連する無限粒子系として，Dyson 模型に代表される1次元上の対数ガス模型を研究した。これは多粒子系の確率過程であるが、量子可積分系である Calogero-Moser-Sutherland 模型と関係付けて議論することができる。量子可積分系においては、その可積分構造を維持したままで、有理式型、三角関数型、楕円関数型の３つのレベルが存在する。この見方からすると，Dyson 模型は３レベルの最下位である有理式型と見なせる。そこで、Dyson 模型を最高位の楕円関数レベルに拡張することを試みた。この拡張には、群の表現論におけるアフィン・ルート系の分類理論が有効であることが分かり、7種類の新しい対数ガス模型を構築し、それらの無限粒子極限を求めることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
弱解をもつ無限次元確率微分方程式を、弱解を用いて有限次元確率微分方程式のスキームとして再構築し、解のパスワイズ一意性や強解の存在を示すという基本思想が、より洗練され、有限次元（1粒子）の結果をこのスキームを通じて、無限次元（無限粒子系）にリフトできる、という指導原理に発展した。従来はこの指針により無限次元の問題を、有限次元スキームに転換して証明していたが、逆に古典的な有限次元の確率解析の諸結果の対応物を無限粒子系で探求するという問題意識が明確になり、世界が拡がった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究のコア理論に関するもののうち、無限粒子系の新理論の完成に関しては、重要な条件であるIFC条件についての論文を作成中である。これは、長田、種村に加えて、元ポスドクの河本で取り組んでいる。同じメンバーでDirichlet形式の一意性の論文も書きあげ、現在投稿中である。これらの結果は、本研究の主結果の一つである「ランダム行列の力学的普遍性」に使われる予定である。この力学的普遍性については、今後、可解モデルの手法による極限定理との協奏を意識し、応用していく予定である。
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Research Products
(49 results)
