2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16J01067
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松井 紘樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | テンソル三角圏 / テンソルイデアル / Balmerスペクトラム / support data |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究者は本年度において主に部分圏の分類について研究を行った。可換環上の加群圏や導来圏などの圏の構造を知ることは可換環の表現論において重要な問題である。この問題へのアプローチとして、一つには対象の分類がある。これは直和と直和因子で閉じた部分圏を分類することと同値である。しかし、このアプローチは一般には絶望的であることが知られている(Drozdのtame-wild分離定理)。そこで、直和と直和因子の他にも操作を許した部分圏を分類することが考えられている。
本年度は主に以下の成果を得た。
(1)私は前年度において高橋両氏との共同研究で、可換ネーター環上の有限生成加群の右有界導来圏のテンソル三角圏構造について考察し、有界複体で生成されたイデアルを分類した。この研究の続きとして、右有界導来圏のBalmerスペクトラムの位相構造についての研究を行った。この結果、Balmerスペクトラムのネーター性についての必要条件を、既約性と連結性についての必要十分条件を与えた。
(2)可換ネーター環に対して、その特異圏とは環の特異性を測るような圏である。実際、特異圏が自明となることは環が正則であることと同値であることがAuslander-Buchsbaum-Serreの定理により従う。そこで自然に特異圏が環の特異軌跡の情報をどれぐらい持つのか、という疑問が考えられる。
本研究では与えられた三角圏に対してそのthick部分圏を分類するような位相空間が同相を除いて唯一つであることを示した。この結果を用いることで、あるクラスの可換環においてはその特異軌跡の位相構造が特異圏から完全に復元されることを示した。また、他にも有限群のモジュラー表現や代数幾何学において現れる三角圏に応用することで標数p上のp群のp階数が安定加群圏の不変量であること、ネーター準アフィンスキームの次元が完全導来圏の不変量であることなどを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Balmer氏の研究が示すように、テンソル三角圏のBalmerスペクトラムの位相構造は部分圏の分類に本質的な情報を与えるが、(1)において可換環の右有界導来圏のBalmerスペクトラムの位相構造について幾つかの成果が得られた。
また、(2)において特異圏から特異軌跡を復元し、その結果として可換環の特異圏の三角同値の必要条件を与えることに成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、右有界導来圏の研究において得られた知見を本来の最終目標であった有界導来圏のthick部分圏の分類問題への活用を目指す。
また、(2)における研究をより進めて、特異圏から特異軌跡の位相構造を復元することを目指す。
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Research Products
(10 results)
