2016 Fiscal Year Annual Research Report
Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ Ｆａｎｏ凸多面体のＥｈｒｈａｒｔ多項式及びｆ列の分類
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16J01549
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 大阪大学, 情報科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | 格子凸多面体 / Gorenstein Fano凸多面体 / 反射的凸多面体 / Ehrhart多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，Gorenstein Fano（反射的）凸多面体をEhrhart多項式とｆ列の観点から観察し，分類することである。
平成28年度はまず高次元Gorenstein Fano凸多面体の構成方法を与えることに取り組んだ。これは一般次元のGorenstein Fano凸多面体の性質を調べることに非常に重要になってくる。以前より，2つの格子凸多面体を用いて，Γ型と呼ばれる高次元Gorenstein Fano凸多面体の構成方法が知られていた。今年度は，さらにΩ型と呼ばれる高次元Gorenstein Fano凸多面体の構成方法を提唱した。この構成方法には，使用した2つの格子凸多面体をファセットに持つ，という性質があり，ｆ列，つまり面の構造を調べるには非常に有益である。有限半順序集合からΓ型を用いて，3種類のGorenstein Fano凸多面体の類を構成した時と同様に，Ω型でも3種類のGorenstein Fano凸多面体の類を構成することに成功した。またこれらΓ型とΩ型のEhrhart多項式および体積の関係に関する結果も得ることができた。さらに理想グラフを用いて，Ω型で1種類のGorenstein Fano凸多面体の構成も行った。Γ型でも同様にGorenstein Fano凸多面体を構成できるが，この2つの構成方法の差をその結果の中で明らかにすることができ，Γ型とΩ型の役割について，非常に有益な情報を得た。Γ型とΩ型の構成方法は今度さらなる結果が期待できる。
本年度はさらに，Gorenstein Fano凸多面体の分類にも取り組んでおり，より一般のクラスであるGorenstein凸多面体を，単体かつ正規化体積が素数，素数の2乗，2つの素数の積の場合に対して分類することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では，高次元のGorenstein Fano凸多面体の構成方法を与え，その組合せ論的性質を調べることが主な目的であった。実際，Ω型と呼ばれるGorenstein Fano凸多面体の構成方法を提唱し，4種類の非常に性質のいいGorenstein Fano凸多面体の類を構成した。またそのEhrhart多項式や体積に関する結果も得られた。さらにGorenstein Fano凸多面体の分類に関しても一定の結果を得ることができた。以上の結果，研究の進捗状況としては，おおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度導入したΩ型と呼ばれるGorenstein Fano凸多面体の構成方法は，今後もさらなる結果が期待できる。このΩ型と，以前導入したΓ型と呼ばれる構成方法を同時に調べながら，それぞれの性質，および2つの構成方法の関係性についてより明らかにすることを目指す。具体的には，理想グラフからΓ型とΩ型を用いてGorenstein Fano凸多面体を構成したが，より広いクラスのグラフからそれを行う。またそれぞれの組合せ論的性質をグラフの言葉で特徴づける。さらにGorenstein Fano凸多面体の分類も今年度より進めていく。
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Research Products
(19 results)
