2017 Fiscal Year Annual Research Report
Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ Ｆａｎｏ凸多面体のＥｈｒｈａｒｔ多項式及びｆ列の分類
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16J01549
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 大阪大学, 情報科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | 反射的凸多面体 / Gorenstein Fano凸多面体 / Ehrhart多項式 / 安定集合凸多面体 / 順序凸多面体 / 辺凸多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的はGorenstein Fano凸多面体の面に関する研究と，格子凸多面体の分類問題に関する研究である．
平成29年度はまずある特定の格子凸多面体を極大面に持つGorenstein Fano凸多面体の構成に取り組んだ．昨年度までの研究を元に，すべての(0,1)凸多面体があるGorenstein Fano凸多面体の極大面となる，という予想をした．そこで，ある特定の(0,1)凸多面体を極大面に持つGorenstein Fano凸多面体の構成を考えた．まず，昨年度導入したΩ型と呼ばれる格子凸多面体の構成方法を用いて，理想グラフに付随する安定集合凸多面体と有限半順序集合に付随する順序凸多面体の両方を極大面に持つGorenstein Fano凸多面体の構成に成功した．また有限単純グラフに付随する辺凸多面体においても同様の考察を行い，辺凸多面体を極大面に持つGorenstein Fano凸多面体の構成に成功した．
次に小さい体積を持つ格子凸多面体の分類に取り組んだ．まず，正規化体積が4以下の格子凸多面体に付随するEhrhart多項式の特徴づけが完全に与えられていることを用いて，正規化体積が4以下の格子凸多面体の分類に成功した．具体的には，与えられた多項式をEhrhart多項式に持つ格子凸多面体をそれぞれ分類した．次に，正規化体積が5の格子凸多面体に付随するEhrhart多項式の特徴づけを行った．これまで，正規化体積が5の格子単体に付随するEhrhart多項式の特徴づけが知られていた．そこでまずは正規化体積が素数の格子非単体の性質について調べ，その結果，そのような多面体はspanningと呼ばれる性質を持つことがわかった．この性質を用いることで，正規化体積が5の格子非単体に付随するEhrhart多項式の特徴づけに成功し，正規化体積が5のEhrhart多項式の特徴づけが完成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ひとつの課題であった，正規でない格子凸多面体からGorenstein Fano凸多面体を構成する手法を， 行列の理論を用いることで成功したことは，今後，高次元のGorenstein Fano凸多面体を構成して行く上で，非常に有益になる．また正規化体積が4以下の格子凸多面体の分類や，正規化体積が5の格子凸多面体に付随するEhrhart多項式の特徴づけは，格子凸多面体の分類理論，およびEhrhart多項式の理論に大きな進展をもたらした．
以上の結果，研究の進捗状況としては，おおむね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，すべての(0,1)凸多面体があるGorenstein Fano凸多面体の極大面となる，という予想の解決に向けて，これまで構成できていない著名な(0,1)凸多面体に対してこの予想を解決する．特にマトロイドに付随するマトロイド凸多面体や超単体に対してこれを解決する．一方，格子凸多面体の分類に関して，正規化体積が5の格子凸多面体に付随するEhrhart多項式の特徴づけを元に，正規化体積が5の格子凸多面体の分類に挑戦する．さらに．Ehrhart多項式の特徴づけを正規化体積が6のものから進めて行く．特に正規化体積が7のものは，格子単体の場合のEhrhart多項式の特徴づけが知られており，また非単体の場合はspanningという性質を持つことがわかっているので，正規化体積が5の場合と同様の方法で証明ができることが期待できる．
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