2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16J02664
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
三浦 達彦 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | ナヴィエ・ストークス方程式 / 薄膜領域 / 強解 / 特異極限 / 表面流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は３次元の静止した薄膜領域上のナヴィエ・ストークス方程式について、薄膜領域が２次元の閉曲面に退化する際の特異極限問題に対する考察を行い、その過程で得られた知見を基に薄膜領域上の方程式の強解（一意性が成り立つクラスの正則な解）の時間大域存在の証明とその時空間ノルムの精密な評価を行った。
１．特異極限問題に対する考察：与えられた閉曲面上の十分小さな関数のグラフとして表されるような２つの閉曲面を考え、その間の領域を薄膜領域としてナヴィエ・ストークス方程式を考える。ただし境界条件としては領域の内外で流体の出入りがなく、境界上で流体が摩擦力を受けながら滑っているという（ナヴィエの）滑り境界条件を課す。このような薄膜領域上の方程式について、弱形式（試験関数を含む積分等式）に対する極限操作を行うことで薄膜領域が閉曲面に退化する際の極限方程式の導出を試みた。その結果、極限方程式の構造について知見を得ることはできたが、極限操作による積分等式の収束には薄膜領域上の方程式の正則な解に対する時空間ノルムの評価が必要であることが分かり、現時点では数学的に厳密な極限方程式導出に必要な理論が不足していることが分かった。
２．強解の時間大域存在の証明と時空間ノルムの評価：上記の特異極限問題に対する考察を基に同じ薄膜領域上で滑り境界条件を課したナヴィエ・ストークス方程式の解析を行い、薄膜の厚さが十分小さいときに非常に大きな初期値と外力に対して強解が時間大域的に存在することを証明し、薄膜の厚さを用いて強解の精密な時空間ノルムの評価を行った。証明の鍵となるのは方程式の粘性項と慣性項の内積の積分の評価であるが、退化曲面の法線方向への積分平均を取って３次元ベクトル場をほぼ２次元の平均場とその残余項に分解して各々を評価することにより積分に対する良い評価を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の研究目標は薄膜領域が閉曲面に退化する際のナヴィエ・ストークス方程式の極限方程式を数学的に厳密に導出することであった。しかし、導出の過程で必要な理論が不足していることが判明し、その理論構築に多大な時間を費やしたために本年度中の厳密な極限方程式導出には至らなかった。また、薄膜領域が静止している状況でも方程式の解析が困難であったため、動く薄膜領域上の方程式については考察を行うことができなかった。本年度は様々な解析を行って今後有用となる理論を構築することはできたが、上記の状況を鑑みて研究は少々遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまず本年度の研究の続きとして静止した薄膜領域上のナヴィエ・ストークス方程式に対する数学解析を行い、退化曲面上の極限方程式の導出およびその解析、薄膜領域上の方程式と退化曲面上の極限方程式の比較を行う。その後は薄膜領域や退化曲面が動く場合について考察し、研究の進捗状況に応じて固有値問題など関連する問題にも取り組む予定である。
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