2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16J03138
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
竹内 博志 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | 位相的データ解析 / 粉体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に「可換梯子型パーシステント加群の行列問題を用いた直既約分解の研究継続」「対応のパーシステントホモロジーの研究継続」「粉体の解析についての新たな研究」の3つの研究を行った。
可換梯子型パーシステント加群の行列問題を用いた直既約分解について：既存の直既約分解アルゴリズムと本研究のアルゴリズムの計算量のオーダーを計算し比較し、既存の方法より有用であることが証明出来た。この比較結果を新しく盛り込み、論文を改めて投稿した。
対応のパーシステントホモロジーについて：対応のパーシステントホモロジーのパーシステントホモロジー版である、離散力学系のパーシステントホモロジーについての研究を継続した。定義に一意性が確認不十分な箇所が見つかったが、導出される直既約成分は同型を除いて一意であることを確認した。また、仮定していたサンプル点上の写像の条件を緩和することが出来た。位相的データ解析では入力データに対して出力されるパーシステント図がリプシッツ連続的に変動することが要求されるが、本手法においても同様の連続性があることを示した。
粉体の解析についての新たな研究について：本研究では時系列位相的データ解析の理論的研究と並行して、位相的データ解析を使った粉体の実験データの構造解析を、オーストラリア国立大学のM. Saadatfar博士のグループと共同で研究している。これまでの2次パーシステント図を使った粉体の高密度状態、及び結晶化現象についての定量的解析について纏めた論文が、Nature Communications誌から本年度5月に出版された。その後、本年度1月にSaadatfar博士を招聘し、粉体中のforce networkについて、2種類の位相的データ解析の共同研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
可換梯子型パーシステント加群の研究については、既存の直既約分解アルゴリズムと本研究のアルゴリズムの計算量のオーダーを比較し、各頂点に乗っているベクトル空間の次元の最大値に対し、既存研究のアルゴリズムは少なくとも6乗であったが、本研究のアルゴリズムは3乗のオーダーであることを証明し、当初の予定以上の成果が得られた。
離散力学系のパーシステントホモロジーについては、定義に一意性が確認不十分な箇所が見つかったが、可換梯子型パーシステント加群の行列問題の研究結果を用いることで、出力される直既約成分は同型を除いて一意であることを確認した。また、この手法は先行研究と違い定義域と値域が別の空間でも良いので、仮定していたサンプル点上の写像の条件を緩和することが出来た。即ち、先行研究とは違い、与えられたサンプル点上の写像に対して近似の写像を取る必要が無くなった。位相的データ解析では入力データに対して出力されるパーシステント図がリプシッツ連続的に変動することが要求されるが、本手法でも使用する単体複体をチェック複体もしくはヴィートリス・リップス複体に制限すると、サンプル点上の写像に対してパーシステント図がリプシッツ連続的に変動する安定性定理を示した。現在は数値実験の準備をしており、一連の結果についての論文を執筆しているなど、予定通りに研究が進んでいる。
粉体の研究では、これまでの2次パーシステント図を使った粉体の高密度状態、及び結晶化現象についての定量的解析について纏めた論文が、Nature Communications誌から本年度5月に出版された。その後、本年度1月にSaadatfar博士を招聘し、粉体中のforce networkについて、2種類のデータ列の位相的データ解析の共同研究を行った。それぞれのパーシステント図の列には特徴的なパターンが現れ、今後の研究課題を設定することが出来た。
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| Strategy for Future Research Activity |
元の対応のパーシステントホモロジーで設定していた、grid上の誘導写像のフィルトレーション版を考えている。これは定義は離散力学系のパーシステントホモロジーと同様であり、パーシステント図の変動距離を入力データの変動距離で評価することは出来るが、リプシッツ連続性は無いことが分かった。ただしこれはgridの幅を小さく取ることで誤差評価が出来るので、先行研究で念頭に置かれていたConley indexへの応用をこの手法を用いて試みるつもりである。
粉体の研究では、粉体中のforce networkについて、既に2種類のデータ列「各接触点をPoint Cloud Dataとみなし、力のノルムでソートしたPoint Cloud Dataの列」「粉体のPoint Cloud Dataに対し、各粒子が受ける最大の力でソートしたPoint Cloud Dataの列」の位相的データ解析の共同研究を開始した。各々のパーシステント図には格子状のピークや存在できない領域等の様々な特徴的なパターンが現れた。しかし現状これが何を表しているのかは分かっていないのでまずこれを解析する。また、本研究で開発した手法の応用を検討し、新たな解析を試みる。
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