2016 Fiscal Year Annual Research Report
Ｈｅｓｓｅｎｂｅｒｇ多様体の幾何に現れる表現論と可積分系
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16J04761
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
阿部 拓 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | Hessenberg多様体 / 局所完全交差 / 平坦退化 / コホモロジー環 / 体積多項式 / Newton-Okounkov体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Regular nilpotent Hessenberg多様体Hess(N,h)については，原田芽ぐみ氏（McMaster大学），Federico Galetto氏（McMaster大学），Lauren DeDieu氏（Minnesota大学）と共同研究を行った．まず我々はHess(N,h)が局所完全交差であることを証明した．さらに，Hess(N,h)がregular semisimple Hessenberg多様体の平坦退化であり，かつそのファイバーがreducedであることを示した．また，この結果の応用として次の結果を得た；Hess(N,h)は一般に特異的な射影多様体であるが，その有理係数のコホモロジー環はPoincare双対代数になっているので体積多項式を用いてコホモロジー環を記述することができるが，実はこの体積多項式がHess(N,h)のPlucker埋め込みの下でのNewton-Okounkov体の体積に他ならないことを証明した．
Regular semisimple Hessenberg多様体Hess(S,h)については，Jeremy Lane氏（Toronto大学）と藤田直樹氏（東京工業大学）との共同研究にて，Plucker埋め込みを与える直線束L_λの大域切断の空間について，特にそこへのトーラス表現の指標公式を調べており，λの各基本ウェイトの係数がある程度大きいときは，Weylの指標公式の自然な一般化がHess(S,h)について成り立つことが分かった．さらに，枡田幹也氏（大阪市立大学），堀口達也氏（大阪市立大学）との共同研究にて，h=(h(1),n,...,n)というケースについて，Hess(S,h)の（整係数の）コホモロジー環を具体的に決定した．特に，環としての生成元を見つけ出し，それらの関係式を具体的に記述した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Regular nilpotent Hessenberg多様体については，当初の予定を超えて研究が進んでおり，その幾何の理解が大きく進んだと言える．また，そのコホモロジー環とNewton-Okounkov体の体積公式の関係も見出された．一方，regular semisimple Hessenberg多様体については，Plucker埋め込みを与える直線束L_λの大域切断の空間へのトーラス表現の指標公式が得られたが，λに条件を付けており，それが外せるかどうかさらなる研究が必要である．regular semisimple Hessenberg多様体のコホモロジー環についても部分的な結果は得られたがさらなる研究が必要である．
以上を総合して，おおむね順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，regular Hessenberg多様体という，より広いクラスのHessenberg多様体について，代数幾何学的な研究を行いたい．特に，局所完全交差であることや，regular Hessenberg多様体全体の成す族のファイバーのreduced性，構造層のコホモロジーの研究などを行っていきたい．また，regular semisimple Hessenberg多様体のNewton-Okounkov体の計算や，完全可積分系の存在についても引き続き研究を行い，コホモロジー環の明示的な記述も調べていきたい．
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