2016 Fiscal Year Annual Research Report
臨界Ｈａｒｄｙ不等式に付随する最小化問題と楕円型偏微分方程式の研究
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16J07472
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
佐野 めぐみ 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2018-03-31
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| Keywords | Hardy不等式 / 劣臨界と臨界 / 最小化問題 / 楕円型偏微分方程式 / boundary singularity / 解の存在 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
交付申請書に記載した研究目的を達成するため、当該年度に実施した研究の具体的な内容や成果については次の2つである。
まず一般化された臨界Hardy不等式の最良定数に付随する最小化問題の正値性・最良定数の値・最小化問題の達成可能性について研究した。具体的には非シャープな場合、適切なある種のスケール不変性を発見し、それを用いて、達成不可能性を示した。一方でポテンシャル関数が原点だけでなく境界にも特異性をもっているシャープな場合には、通常一般化された臨界Hardy不等式は不成立であるが、境界に尖りがある場合を考え、尖れば尖るほど不等式は成立しやすくなり埋め込みのコンパクト性が回復するという現象を発見した。さらにそれを用いることで達成可能性を示した。最後に球対称関数に限った場合には、以前行った高橋と申請者の共同研究の時に提案された手法をさらに発展させることにより、シャープ(非シャープ)な一般化された臨界Hardy不等式は高次元全空間(有界領域)上のHardy-Sobolev型不等式と最小化問題として同値であることを示した。またこの同値性から、球対称関数に限った場合には一般化された臨界Hardy不等式の最良定数に付随する最小化問題については完全に明らかにすることに成功した。
次に申請者と高橋は、改良型臨界Hardy不等式の作成を行い、それを楕円型偏微分方程式の解の存在と固有値の漸近挙動の研究に応用した。具体的には、臨界Sobolev空間に属する関数はどのくらいの特異性を許容するのかと、その埋め込みのコンパクト性について明らかにし、制約条件下でのエネルギー汎関数の最小値を実現する関数を変分法により捕らえることで解の存在を示した。
申請者の研究は非常にデリケートな臨界Sobolev空間上での研究であり、当該分野に新たな手法や観点を提示するものであるので、大変意義があり、重要であるといえる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
交付申請書に記載した当該年度の研究実施計画は、「研究実績の概要」で述べた通り、大変順調に進めることができ、望ましい研究結果を得ることが出来たといえる。また申請者及び高橋は、現在までにこれらの研究結果をまとめ、学術雑誌に掲載済み２編、掲載決定済み２編、投稿中２編の計６編の学術論文を作成している。
そして申請者は望ましい研究結果を得るだけでなく、特別研究員奨励費を使用して、様々な国際学会に参加しそして講演を行った。その際に、当該分野の様々な海外研究者と積極的に意見交換を行った。具体的には交付申請書に記載した研究実施計画通り、６月にストックホルムで開催された「2016 EWM-EMS Summer School」と、７月にフロリダで開催された「11th AIMS」で本研究課題について得られた研究結果に関して講演を行った。その国際学会で知り合った研究者達とは、当該分野が抱えている問題点について議論したり、本研究課題に関連した問題に関して共同で研究を行うなど、現在でも連絡を取り合っている。したがって当該研究の更なる発展や現象の解明を期待できるといえる。
以上の理由により、本研究課題の進捗状況は当初の計画以上に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書に記載した研究目的「シャープ及び非シャープ臨界Hardy不等式のポテンシャル項の特異性の違いが不等式の成立条件や付随する最小化問題、楕円型偏微分方程式にどのような影響を与えるのかを明らかにする」を達成するために設定した当初の研究計画は、希望通り進展させることができたので、今後はより詳細な次の問題について明らかにしていく。
現在まで、一般化された臨界Hardy不等式に付随した最小化問題の達成可能性(すなわち最小化関数があるかないか)について焦点を当てて研究を行ってきた。そこで今後はその研究の延長として、最小化関数の定性的な性質について研究を行っていく。具体的には、「領域を最も対称性の高い球とした場合に、最小化関数は球対称となるのかどうか(対称性の破れ)」と「ポテンシャル関数のあるパラメータを大きくしていった場合、解はどのような形になるのか(解の漸近挙動)」について明らかにしていくこととする。なおこの研究は、当該年度に国際学会にて議論を行った海外研究者と共同で研究を行う予定である(了承済み)。
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