2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16J30008
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
藤原 和将 早稲田大学, 先進理工学研究科, 特別研究員(DC2)
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2016-04-22 – 2018-03-31
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| Keywords | 半相対論的方程式 / 臨界尺度 / 初期値問題の適切性 / 初期値問題の解の有限時刻爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
冪乗型の非線型項を伴った半相対論的方程式の、初期値問題の適切性と初期値の微分可能性との関係の研究を研究した。特に今年度の研究に於いては、空間3次元での尺度臨界に於ける初期値問題の適切性を証明し、ゲージ不変な半相対論的方程式に於いて、適当な初期値に対して解が有限時刻で爆発する事を示した。
空間3次元での尺度臨界に於ける初期値問題の適切性の研究は小澤徹教授とVladimir Georgiev教授との共同研究である。本研究では、空間3次元に於ける、初期値と解が1階微分可能である場合に対する臨界尺度、即ち3 次の非線型項を伴う半相対論的方程式の初期値問題が、球対称性の仮定の下で適切となる事を示した。具体的には、球対称性と3次の非線型性に注目し、対応する波動方程式を空間1次元の方程式に変形する事で、解の一様評価を得た。この変形に基づく一様評価は、他の半相対論的方程式の研究では見られない独創的なものである.
ゲージ不変な半相対論的方程式に対する爆発の研究はVladimir Georgiev教授と小澤徹教授との共同研究である。本研究では、解の重み付き自乗平均が半相対論的方程式に由来する常微分方程式に従って有限時刻で爆発する事を示した。具体的には、非線型項の係数が純虚数の場合、解の重み付き自乗平均が半相対論的方程式に由来する常微分不等式の優解となる事を示し、有限時刻で爆発する事を示した。特に空間1次元に於いては、本研究で得られた爆発時刻の評価は精密である。この手法の特徴は、解の重み付き自乗平均に着目し、問題となる分数階微分を伴う積分量を、交換関係を介して解の導関数に独立して評価する事である。特に分数階微分が非斉次の場合は、対応する交換関係の評価はCoifman-Meyerの評価として広く知られていたが、本研究によって斉次な分数階微分に対しても同様に議論が出来る事が分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までの研究で、半相対論的方程式の初期値問題が適切となる為の条件や、爆発解を有する様な初期値の条件、爆発解に対する爆発の様相に対する理解を進展させる事が出来た。一方で、当初の計画であったゲージ不変性を伴わない半相対論的方程式の初期値問題が、爆発解を有する様な初期値の条件に関しては、当初の予定と比較して進展が乏しかった為。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究に於いては、半相対論的方程式の初期値問題の解が存在する為の枠組みを与えるSobolev空間の条件と、解が有限時刻で爆発する為の初期値の条件、並びに爆発解の様相に関する研究を継続する。
半相対論的方程式の初期値問題の解が存在する為の枠組みを与えるSobolev空間の研究では、ゲージ不変性を伴わない非線形項に就いて研究を継続する。2016年度の研究によって、空間3次元に於ける半相対論的方程式の初期値問題が解を有する為の枠組みを与えるSobolev空間の条件がより精密に理解された。この研究では、3次元の半相対論的方程式の初期値を1次元の波動方程式への変形が重要であった。今年度の研究に於いては、3次元の問題を1次元の問題に帰着される手法と、申請者が考案した試験関数法を組み合わせることで、3次元における半相対論的方程式の初期値問題について精密な考察を行う。
爆発解に対する研究では、フーリエ変換が効果的に作用しない様な条件の下で、半相対論的方程式の初期値問題を考察する。今までの研究では、半相対論的方程式が有する分数階の微分作用素や、2016年度の爆発解の研究で肝要であった分数階微分と重み関数との交換関係をフーリエ変換を介して理解して来た。しかし最近のGeorgiev教授、小澤教授、Forcella氏との議論で、分数階の微分作用素と重み関数の交換関係をLaplacianのリゾルベントに基づいて示す事が出来る可能性がある事が分かった。リゾルベントに基づいて交換関係の有界性が理解された場合、交換関係の有界性はLaplacianのリゾルベント評価に由来する為、これまでEuclid空間上のみで行ってきた議論を、例えば外部領域といったより一般的な条件の下で考察する事が出来る。この為、今年度は交感関係の有界性について研究し、これまでの研究の拡張を目指す。
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[Presentation] Higher order fractional Leibniz rule2016
Author(s)
K. Fujiwara, V. Georgiev, and T. Ozawa
Organizer
Mathematical Analysis for Stability in Nonlinear Dynamics -in honor of Professor Vladimir Georgiev on his 60th birthday
Place of Presentation
北海道大学
Year and Date
2016-08-24 – 2016-08-26
Int'l Joint Research
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