一般化されたバーンサイド環の構造とその応用の研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05052
• Research Institution: Muroran Institute of Technology
• Principal Investigator: 竹ケ原 裕元 室蘭工業大学, 工学研究科, 教授 (10211351)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: Hyperoctahedral群 / 対称群 / バーンサイド環 / 指標環 / 置換指標 / 置換表現

Outline of Annual Research Achievements

Hyperoctahedral群のバーンサイド環に含まれる、指標環と同型なpartialバーンサイド環および、指標環と同型な一般バーンサイド環の研究を行い、以下の成果を得た。
Gaissinger-Kinchiによって発見された指標環のZ基底をなす置換指標の組について、対応する置換表現が同型の意味で積に関して閉じていることを証明した。それらの置換表現は、対称群のYoung部分群に関する置換表現の一般化であり、さらに、Hyperoctahedral群のparabolic部分群に関する置換表現を含んでいる。このことから、指標をそれらの置換表現のZ係数1次結合で表すという問題が自然に発生する。
Hyperoctahedral群の指標環について、新たにZ基底をなす置換指標の組を与えた。それは、既約指標の構成から自然に得られるものであるが、これまでは知られていないと思われる。さらに、それらに対応する置換表現で定められる一般バーンサイド環と指標環が同型であることを示した。また、その一般バーンサイド環におけるLefschetz invariantを研究したところ、線形指標に対応するものがすべて得られた上、それらがすべて明示化されることがわかった。結果的に、線形指標を置換表現のZ係数1次結合で表すことに成功した。
線形指標を置換表現のZ係数1次結合で表す問題は、Gaissinger-Kinchiが発見した指標環のZ基底をなす置換指標の組についても、結果が得られた。特に、Hyperoctahedral群を自然に含む対称群のsign指標の制限として得られる線形指標について、それが、置換表現のZ係数1次結合で表せることを示した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Hyperoctahedral群のバーンサイド環に含まれる、指標環と同型なpartialバーンサイド環の存在は、本研究の研究計画における1つの核心となる部分であり、1つの目標は達成されたと考えている。

Strategy for Future Research Activity

斜バーンサイド環における単数群の構造を研究する。まず、バーンサイド環の単数群の研究結果を拡張しながら一般論の研究を進め、ある時点で、対称群やHyperoctahedral群の場合に研究成果を応用する。具体的な研究方針として、バーンサイド環の場合における吉田の基準を拡張し、それを基に単数群の構造を群論的性質により特徴づける。その後、いくつかの具体例で、単数群を決定する。

Causes of Carryover

旅費および図書費の支出について、予定より、若干低めに押さえられたため、累積して、次年度使用額が生じた。

Expenditure Plan for Carryover Budget

シンポジュウム等での講演、出席に宛てる。