ハイパースペシャル・コンパクト群の既約表現の研究とその応用

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05053
• Research Institution: Miyagi University of Education
• Principal Investigator: 高瀬 幸一 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (60197093)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超尖点的既約表現 / Langlandsパラメータ / Weil 群 / 正則離散系列表現 / Jordan 三重系

Outline of Annual Research Achievements

非アルキメデス的局所体上の特殊線形群，斜交群の超尖点的既約表現を具体的に構成して，その性質を明示的に考察することができるようになったので，その知見をアルキメデス的局所体上のユニタリ表現と比較する研究を始めた．具体的には，正則離散系列表現の制限として生じる既約ユニタリ表現を調べることが目標である．正則離散系列表現は複素有界対称領域 $G/K$ 上の正則関数の空間上に実現される $G$ の既約ユニタリ表現であるが，それを「実数部分」$G_{\Bbb R}/K_{\Bbb R}$ に制限して生じる $G$ の「実数部分」$G_{\Bbb R}$ の表現を詳しく調べるのである．そのような $G$ と $G_{\Bbb R}$ はコンパクト Jordan 三重系とその Hermite 化により全て生成されるので，Jordan 三重系の一般論を確認する作業を始めている．目標は $G_{\Bbb R}$ の既約離散系列表現の球関数と $G$ の正則離散系列表現の球関数の関係を明らかにすることである．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

非アルキメデス的局所体上の簡約群の超尖点的既約表現の具体的に構成すること，及びその性質を明示的に示すことが出来るようになった．更にそうして得られた知見をアルキメデス的局所体上の簡約群の既約表現と比較するために，特にコンパクト Jordan 三重系から生じる簡約実 Lie 群の構造を詳しく調べた．

Strategy for Future Research Activity

コンパクト Jordan 三重系の Hermite 化から生じる複素有界対称領域とその「実部」の構造を詳しく調べて，様々な積分公式を開発し，それを用いて正則離散系列表現を「実部」に制限したときに生じるユニタリ表現と，$G$ の実部 $G_{\Bbb R}$ の極大コンパクト部分群 $K_{\Bbb R}$ の有限次元表現からの誘導標元との間のユニタリ同値写像を具体的に記述する．さらにその記述を利用して，$G_{\Bbb R}$ の離散系列表現に最小 $K_{\Bbb R}$-タイプに付随する球関数と $G$ の正則離散系列表現の球関数の関係を調べる．

Causes of Carryover

COVID-19蔓延による完了期限延長に依る．