Study on irreducible representations of hyperspecial compact group and its applications

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16K05053
• Research Institution: Miyagi University of Education
• Principal Investigator: 高瀬 幸一 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (60197093)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超尖点的既約表現 / Langlandsパラメータ / Weil 群 / 正則離散系列表現 / Jordan 三重系 / 一般化された Laplace 変換

Outline of Annual Research Achievements

1) 局所体 $K$ の整数環 $O_K$ 上定義された古典型の群スキーム $G$ の $O_K/\frak{p}_K^r$-有理点 ($r>1$) のなす有限群 $G(O_K/\frak{p}_K^r)$ の正則既約複素線形表現のパラメータ付けを与えた．基本的な方法は，有限体上の Weil表現の一般論を利用することと，有限体上定義された代数群の Schur multiplier から生じるある種の 2-cocycle の自明性による．結果はRegular irreducible representations of classical groups over finite quotient rings (Pacific Journal of Mathematics 311(1):221-256)として発表した．

2) 上の結果の応用として，局所体上の特殊線形群，及び斜交群の超尖点的既約表現を具体的に構成し，それに対して「形式的次数予想」と「ルートナンバー予想」が成り立つことを確かめた．具体的には 1) の結果を用いて，問題の代数群の hyperspecial compact 部分群の有限次元既約表現を構成し，それの compact 誘導表現として超尖点的表現を構成する．

3) 実半単純 Lie 群 $G$ が正則離散系列表現 $\pi$ をもつとき，それを $G$ の「次実数部分」$H$ に制限して得られる $H$ のユニタリ表現は，$\pi$ の最小の $K$-タイプ $\delta$ ($K$ は $G$ の極大コンパクト部分群) を $H\cap K$ に制限した表現 $\rho=\delta|_{H\cap K}$ からの誘導表現 $\text{\rm Ind}_{H\cap K}^H\rho$ とユニタリ同値であることが Vargas (Rend.Sem.Mat.Univ.Pol. Torino, 2002)により知られているが，このユニタリ同値写像を具体的な積分変換として求めることを試みた．このような $(G,H)$ の対は，コンパクト Jordan 三重系 $V$ とその Hermite 化 $V_{\Bbb C}$ から自然に捕まえることが出来るが，特に $V$ が形式的実 Jordan 代数の場合，上の積分変換は通常の Laplace 変換を $K$-タイプ付きの場合に拡張したものになることが示された．引き続き一般の場合に研究を進める予定である．