2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05054
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
飛田 明彦 埼玉大学, 教育学部, 教授 (50272274)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | コホモロジー / 有限群 / Bunrside 環 / 分類空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、有限群のコホモロジーと表現論を通して、有限群の分類空間のホモトピー論的な性質、特に安定分解について調べることである。有限群の両側 Burnside 多元環は、部分群とその間の準同型写像、部分群の外部自己同型群の情報を含み、有限群の構造と密接な関わりを持つ多元環である。その表現論の考察は、両側関手の理論の一部をなし興味深い対象となっている。さらに、この多元環は、自然に分類空間やコホモロジーに作用し、ホモトピー論の立場からも重要な情報を含んでいる。
位数が素数 p の冪である群について、その分類空間の安定分解の問題は、ホモトピー論による深い結果（Segal 予想）により、素体上の両側 Burnside 多元環の単純加群の問題に帰着される。本研究では両側 Burnside 多元環のコホモロジーへの作用を解析し、その結果を用いて分類空間の安定分解とその因子のコホモロジーを調べている。本年度は、位数が奇素数 p の 3 乗で exponent が p である非可換有限 p-群 P を主な対象とし、両側 Burnside 多元環の mod p コホモロジー環への作用を調べ次のような結果を得た。
これまで冪零イデアルによる剰余環についてその単純組成因子が得られていたが、冪零イデアルの部分についても研究を行い、コホモロジー環全体の単純組成因子を決定した。またその結果を P を Sylow 部分群に持つ有限群の分類空間の安定分解に応用し、これまで知られていなかった 3 次線形群に関する群についての結果を得た。
さらに、P についての結果を応用し、p が 5 以上の素数の場合、階数が 2 の p-群についてその分類空間の安定分解と因子のコホモロジーを調べた。その結果、これら階数 2 の群の安定分解のコホモロジーに関する情報は、P の情報から得られていることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の項で述べたように、位数が奇素数 p の 3 乗で exponent が p の非可換 p-群 P を主な対象として研究を行った。両側 Burnside 多元環のコホモロジー環への作用について調べ、特に、既約組成因子とその重複度について研究を行った。これまで、冪零イデアルによる剰余環については既約組成因子と重複度が知られていたが、冪零イデアルの部分についても研究を進め、コホモロジー環全体の単純組成因子と重複度を決定することができた。
一方、この p-群 P を Sylow 群に持つ有限群の分類空間の安定分解の問題に応用を計り、3次線形群に関連した有限群の安定分解についての結果を得た。この結果により、この p-群 P を Sylow 群として持つ有限群、あるいは P 上のフュージョンシステムの分類空間の安定分解について、これまでの先行研究において欠けていた部分を補うことができた。
さらに、この p-群 P のコホモロジーに関する結果を、階数が２の p-群の分類空間の安定分解と安定因子のコホモロジーの研究にも応用をすることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究においては、位数が奇素数 p の3乗で exponent が p である非可換有限群 P を主な対象とし、両側 Burnside 多元環の表現とコホモロジー環への作用、分類空間の安定分解と安定因子のコホモロジーについて研究を行った。今後の計画としては、まず、コホモロジー環の両側 Burnside 多元環上の加群構造について、これまで得られた単純組成因子についてのみならず、直既約分解等の精密な加群構造を調べることがあげられる。
また、p が 5 以上の素数のときに、階数が 2 の p-群の安定分解と因子のコホモロジーについての結果を得ているが、これは個々の群に対して別個に計算を行っているものである。今後の課題として、階数が 2 の p-群について、全体の状況を把握し理解するために、圏論的な見地から検討を行う必要がある。対応策としては、両側 Burnside 多元環の適当な部分多元環を統一的に構成し応用する方法と、両側関手の理論を応用して P のコホモロジーと階数が 2 の群のコホモロジーとを結びつける方法、が考えられる。後者については、前段で述べたコホモロジー環の加群構造の情報を活用することができると期待している。他方、p が 3 のときは群の分類が複雑な状況となるが、この場合にも取り組む予定である。
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| Causes of Carryover |
本研究課題と密接な関連を持つ研究集会（「有限群のコホモロジー論とその周辺」）を平成29年2月に数理解析研究所にて実施した。当初の計画では研究協力者・講演者の旅費を計画していたが、外国旅費及びに遠方からの旅費の必要が少なくなり研究所からの旅費で概ね充足されることになったため、当該助成金が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本研究課題の遂行、及びに、上記理由項目に挙げた研究集会の次回以降の実施に必要な準備や情報収集を行うため、各種学会、研究集会、シンポジウム等に参加する。また、新たな情報収集のために必要となる図書・雑誌等の資料を購入する。
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