2019 Fiscal Year Annual Research Report
Cohomology theory of finite groups from the viewpoint of representation theory
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16K05054
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
飛田 明彦 埼玉大学, 教育学部, 教授 (50272274)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限群の表現論 / モジュラー表現 / 有限群のコホモロジー / 両側Burnside環 / 分類空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、有限群について、表現論、構造論、分類空間の3者の関係を表現論の立場から研究することである。表現論からは、有限群および多元環の表現論、そして関手圏の理論が研究対象であり、構造論からは、素数 p に対する p-局所構造とfusion system が研究対象である。分類空間のホモトピー論からは、p-完備化された分類空間の安定分解を研究対象としている。
分類空間の安定分解は、両側 Brunside 環での単位元の冪等元分解と対応し、群や多元環の表現と結びつく。また fusion system は両側 Burnside 環の特別な元で特徴づけられ、両側 Burnside 環の表現論と結びついている。
これまでの研究では、（１）両側 Burnside 環の一般化として両側集合関手の理論を展開し群のホモトピー安定分解に応用すること、（２）有限群の表現論、特に既約加群についての情報を得ること、の２点に焦点をあてて研究を行ってきた。本年度は（２）の観点から研究を行った。（１）への応用に際しては、有限群の既約加群の次元、部分群からの誘導や trace 写像、共役、などに関する具体的で詳細なデータが必要となる。このため有限群の既約表現の次元や共役類との関係に焦点をあてた研究を行ってきたが、特に、表現がどの部分群から誘導されているか、trace 写像の像の特定などは難しい。そのため既約表現の vertex に関する研究にも重点を置き次の結果を得た。
対称群あるいは環積として表される群の既約複素指標次数と共役類のサイズに関して、特に全体の積についての結果を得た。また、p-モジュラー表現において、既約表現の vertex と p-正則共役類の不足群に関する研究を行った。p-ブロックに属する既約表現の vertex と、p-正則共役類の不足群との関係に関する結果を得た。
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