2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05055
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
斉藤 義久 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20294522)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子包絡環 / 結晶基底 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に行った研究は以下の通りである．
(1) 量子座標環の表現論と量子包絡環のPBW型基底について：表題に関する研究を論文にまとめ，学術雑誌に発表した．
(2) 量子トロイダル代数の構造論：量子トロイダル代数は，近年理論物理学，特に素粒子論との関連から注目されている代数であるが，Kac-Moody代数の場合に用いられた種々の方法論がほとんど役に立たないため，これまで組織的な研究はほとんど行われていなかった．報告者はこの点に着目し，量子トロイダル代数の構造論をルート系の立場から研究した．得られた成果は次の通りである．
(a) 量子トロイダル代数の有限個の生成元と関係式による表示：トロイダルリー代数に関しては，そのルート系（楕円ルート系と呼ばれる）に付随して定まる楕円ディンキン図形によって，有限個の生成元と関係式による表示が記述できることが知られている（齋藤恭司・吉井）．「この事実のq変形が成り立つ」ことを示したのが本研究の内容である．このような仕事は地味ではあるが，基礎理論の構築のためには欠かせないプロセスである．
(b) 量子トロイダル代数へのブレイド群，モジュラー群の作用：トロイダルリー代数にはブレイド群，及びモジュラー群が作用しており，その構造論を展開するための重要な鍵になっている．特にモジュラー群の作用はKac-Moody代数には無かったトロイダル特有の現象であり，今後の理論の進展において重要な役割を果たすと考えられる．本研究では，これらの群作用を量子トロイダル代数の場合に拡張することを試み，部分的に成功を収めた．この群作用の構成では，(1)で与えた量子トロイダル代数の有限個の生成元と関係式による表示が本質的な役割を果たす．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子トロイダル代数に関する研究は，当初の研究計画においては研究の後半に可積分系への応用に関連して扱う予定のテーマであったが，予想外に研究が進展しそうだったので，本年度は量子トロイダル代数の基礎理論に関する研究を行うことにした．得られた成果は，まだ直接的な可積分系への応用は見込めないものの，１年目の成果としては満足できるものであると考えている．その反面，代数群や代数解析学への応用に関しては，いささか手薄になってしまった面は否めず，十分な成果が得られたとは言い難い状況である．とはいえ，本研究課題は４年間という期間をトータルして行うものであるので，多少の順序の変更はあっても良いものと考えている．その意味で，本研究課題は『おおむね順調に進展している』と判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
テーマ毎に分けて述べる．
(1) 代数群・多元環の表現論と結晶基底の理論との関係の研究：本来１年目から取り組む予定のテーマであったが，上述のように可積分系への応用に関して予期していなかった進展が見られたので，初年度にはあまり取り組むことが出来なかった．当初の研究計画に基づき，主に計算機を用いたデータ収集を中心に研究を行っていきたい．
(2) 可積分系への応用：初年度に得られた成果は，トロイダル代数の型にある種の制約が必要で，完全に一般化できているわけではない．まずはこの制約を外したい．これは単なる技術的な問題であり，時間をかければ解決可能な問題であると考えている．さらに，可積分系への応用を考える場合の中心課題である，R行列の構成問題に取り組みたい．
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